Рангом системи рядків (стовпців) матриці з рядків і стовпців називається максимальне число лінійно незалежних рядків (стовпців). Кілька рядків (стовпців) називаються лінійно незалежними, якщо жодна з них не виражається лінійно через інші. Ранг системи рядків завжди дорівнює рангу системи стовпців, і це число називається рангом матриці.
Нехай дана система
з матрицею А і розширеної матрицею:
Дана система рівнянь (1.1) може:
1. Не мати рішень.
2. Мати єдине рішення.
3. Мати безліч рішень.
Дослідити систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) це означає:
1. Визначити сумісна або несумісна система, тобто має рішення чи ні.
2. Якщо система сумісна, то певна або невизначена система, тобто скільки рішень має система.
3. Якщо система певна, то знайти єдине рішення.
4. Якщо система невизначена, то описати безліч рішень.
Критерієм спільності системи служить наступна теорема.
Теорема 1. Кронекера-Капеллі.
Для того, щоб система (1.1.) Була сумісна, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці А дорівнював рангу розширеної матриці А.
rang A = rang. (1.24)
Теорема 2. Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює числу невідомих, то система має єдине рішення.
Теорема 3. Якщо ранг матриці спільної системи менше числа невідомих, то система має безліч рішень.
Виходячи з цих теорем, можна зазначити таке правило рішення системи (1.1).
Знайти ранг матриць А і.
Якщо rang А чи не дорівнює rang,
то система несумісна, тобто рішень не має.
Якщо rang A = rang = r, то можуть представитися два випадки:
1) r = n (число невідомих). Тоді по теоремі 2 система має єдине рішення, яке може бути знайдено, або за формулами Крамера, або за допомогою оберненої матриці, або методом Гаусса.
2) r При будь-яких значеннях вільних невідомих хr + 1 = C1. хr + 2 = C2. хn = Cn-r система (1.25) має рішення. Воно може бути знайдено за формулами Крамера або методом Гаусса.Схожі статті