У шкільній математиці є теми, які традиційно погано розглядаються вчителями. Я не буду торкатися причин цього, так як це моє особиста думка. До таких тем в першу чергу відносяться вектори і перетворення. Вони, безумовно, складні для сприймання учнями школи, так як вектори і перетворення-це кватирки у велику математику. Так наприклад дійшовши до векторів учні вперше стикаються з тим що математика це не тільки цифри, але і наука про об'єкти (рукотворних) іншої природи, для яких інтуїтивні уявлення не завжди працюють, а потрібно чітко сприйняти теорію: визначення, властивості, теореми. В принципі вектори не потрібні для ЄДІ з математики, але вони, звичайно, необхідні для сприйняття фізики і здачі ЄДІ з фізики. Перетворення, чесно сказати, це найважливіше поняття вищої математики. У школі розглядаються найпростіші приватні його випадки: рух і гомотетия. Детально з ними повинні познайомитися лише тільки ті учні, які збираються навчатися в технічних ВНЗ.
Визначення. Вектор це спрямований відрізок, тобто відрізок у якого один кінець призначається початком, а інший кінцем і заданий напрямок: від початку до кінця.
Щоб задати вектор потрібно вказати довжину відрізка і його напрямок.
Таким чином, вектор це математичний об'єкт число зі стрілкою. Число-це довжина відрізка, стрілка вказує напрямок. Повісивши на число стрілку з ним вже не можна поводитися як з числом. Ось наприклад, .
Розглянемо моменти, які традиційно не засвоюються школярами
Визначення. Проекція вектора на вісь-це довжина відрізка між проекціями його початку і кінця.
Зауваження. Проекція точки на вісь-це підстава перпендикуляра, опущеного з точки на цю вісь.
Визначення. Координати вектора- це його проекції на координатні осі (см.ріс.)
Нехай дано вектор тоді як визначено координат векторімее по осіX координату, а по осіY координату
Тепер розглянемо деякі формули. Нехай заданий вектор і відомі координати його початку і кінця і
Тоді абсциса дорівнює, а ордината дорівнює. Отже, якщо відомі координати початку і кінця вектора, то його координати рівні різниці відповідних координат його кінця і початку, тобто. де ,.
Далі розглянемо прямокутний трикутник. По теоремі Піфагора маємо. Це і є формула довжини вектора
Зауваження. Очевидно, що цією формулою можна користуватися для обчислення відстані між двома точками (наприклад, A і b см.рис.)
Тепер введемо в декартовій системі координат (для простоти двомірної) два вектора і. Їх називають ортами, або базисними векторами
Визначення. Будемо говорити, що вектор розкладений по векторами. якщо має місце бути рівність, десь і число, які називаються коефіцієнтами розкладання
Навчимося розкладати будь-який вектор по ортам.
Нехай дано вектор
Тоді за правилом паралелограма маємо. Як випливає з малюнка,
Тоді, тобто ми отримали шукане розкладання
Тепер розглянемо важливу математичну операцію: скалярний добуток векторів. Її цінність полягає в тому, що вона переводить об'єкти однієї природи (в нашому випадку вектори) в кількості. Отже ...
Визначення. Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними
Позначення. це позначення (символ) скалярного твори
Отже згідно з визначенням можемо записати, - кут між векторами і
Теорема. Нехай і. тоді
Доведіть це твердження самостійно. Потрібно розкласти вектори по ортам, скористатися властивостями скалярного твори, а також формулами, які випливають з визначення скалярного твори: і
Теорема (критерій перпендикулярності векторів). Ненульові вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Визначення. Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній, або паралельних прямих
Теорема (критерій коллинеарности векторів). Ненульові вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх координати пропорційні
(Рекомендую розібратися в теоремах нижче. На перший погляд прості, але в них є стиль серйозної математики)
нехай є два безлічі A і B. Будемо називати перетворенням правило, за допомогою якого з A робляться B і виконуватися правило: одному елементу з A відповідає один елемент з B. Так ось рух це таке перетворення, при якому зберігаються відстані, тобто
Теорема. Пряма перетворюється в пряму при русі.
Нехай задано рух f точок A, B точок таке, що і.
Проведемо пряму через та. Тоді, де
Слідства. При русі промінь відображається в промінь, кут - в кут, отрезок- в відрізок, полуплоскость- в напівплощина. (Усвідомте це самостійно)
Теорема (про завдання руху). Нехай є три неколінеарна (*) точки A, B, C, а також A1. B1. C1. Таких, що AB = A1 B1; BC = B1 C1; AC = A1 C1. Тоді існує рух f таке, що A1 = f (A), B1 = f (B), C1 = f (C) і він єдиний
Задамо перетворення f таке що M в M1 при цьому AM = A1M1 і BM = B1M1. Доведемо, що f-це рух. Для цього розглянемо N1 = f (N) і доведемо, що MN = M1N1. Справді, і. Тоді рівні. Тобто f рух. Доведемо, що він єдиний. Припустимо, що існує рух g:. Тоді буде перебувати в іншій півплощині, що є протиріччя, так як при русі напівплощина переходить в напівплощина. Значить рух єдино і воно f
До рухам відносяться такі перетворення як центральна і осьова симетрія, поворот, перенос
(*) Три точки називаються колінеарними, якщо він лежать на одній прямій. Термін запозичений з теорії векторів. Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих, або на одній прямій. Так як точка-це нульовий вектор, то природно називати точки лежать на одній прямій колінеарними.
Визначення. Гомотетія з центром O і коефіцієнтом k 0 площині називається перетворення площини, яке кожну точку X відображає на таку точку X ', що
Позначення: -гомотетія з центром в O і коефіцієнтом k
Лемма. ЕсліA 'иb' образи точекA иb при гомотетии, то
Теорема. Гомотетия кожну пряму відображає на пряму
Приклади застосування гомотетии см.раздел "Цікаві теореми геометрії"