В'язкість (внутрішнє тертя) ми розглянемо пізніше.
Виділимо в стаціонарно поточної рідини трубку струму малого перетину (див. Малюнок). Розглянемо обсяг рідини, обмежений стінками трубки струму і перпендикулярними до ліній струму перетинами S1 іS2. За час Dt цей обсяг переміститься вздовж трубки, причому перетин S1 переміститься в положення S1 '. пройшовши шлях Dl1. а перетин S2 переміститься в положення S2 '. пройшовши шлях Dl2. В силу нерозривності струменя, виділені обсяги матимуть однакову величину DV1 = DV2 = DV.
Енергія кожної частки рідини складається з її кінетичної енергії і потенційної енергії в поле сил земного тяжіння. Внаслідок стаціонарності течії частка, що знаходиться через час Dt в будь-який з точок виділеної частини розглянутого обсягу має ту ж швидкість (а, отже, і кінетичну енергію), яку мала б частка, що знаходиться в цій точці в початковий момент часу. Приріст енергії DЕ всього розглянутого обсягу можна обчислити як різницю енергій виділених обсягів DV1 і DV2.
Візьмемо трубку струму і відрізки Dl настільки малими, щоб усі точки кожного виділеного обсягу можна було приписати одне і теж значення швидкості v. тиску Р і висоти h. Тоді приріст енергії запишеться. (1)
У цьому виразі r - щільність рідини.
В ідеальній рідині сили тертя відсутні. Тому приріст енергії DЕ (з виразу 1) повинна дорівнювати роботі, яку здійснюють над виділеним об'ємом силами тиску. Сили тиску на бічну поверхню трубки струму перпендикулярні в кожній точці напрямку переміщення частинок, до яких вони включені, і роботи не здійснюють. Відмінна від нуля лише робота сил, прикладених до перетинів S1 іS2. Ця робота дорівнює.
Прирівняємо (1) і (2), скоротимо на DV і перепишемо.
Так як перетину S1 іS2 взяті довільно, то можна стверджувати, що в будь-якому перетині трубки струму буде справедливо наступне вираження.
Таким чином, в стаціонарно поточної рідини уздовж будь-якої лінії струму виконується умова (4), зване рівнянням Бернуллі.
Це рівняння досить добре виконується і для реальних рідин, в'язкість яких не дуже велика.
Розглянемо деякі наслідки, що випливають з рівняння Бернуллі.
Якщо рідина тече так, що її швидкість у всіх точках однакова, тоді з (3) отримаємо.
Тобто розподіл тиску буде таким же, як в спочиває рідини.
Для горизонтальної лінії струму (h1 = h2) рівняння (3) набуде вигляду.
Тобто тиск виявляється менше в тих точках поточної рідини, де швидкість більше.
Розберемося з тиском.
Якщо помістити нерухомий манометр всередину потоку рідини, то він буде також вимірювати тиск в рідині, але при цьому характер потоку, внаслідок присутності нерухомого манометра, змінюється.
Зокрема, якщо манометрична трубка поставлена отвором до потоку, то швидкість рідини перед отвором дорівнює нулю. Лінії струму перед отвором манометра розходяться, не потрапляючи в область перед отвором. Застосуємо до цієї нагоди закон Бернуллі, підставляючи в (3) v2 = 0 і h1 = h2. В результаті можна записати.
Тобто нерухомий манометр, звернений отвором до потоку, вимірює тиск більше, ніж манометр, що рухається разом з потоком. Надлишок тиску дорівнює другому доданку в правій частині останнього виразу. Походження цього надлишкового тиску абсолютно очевидно. Частинки рідини, зупиняючись перед манометром, стискаються, і внаслідок цього тиск підвищується. Створюється "динамічний напір".
Тепер ми можемо дати собі звіт про те, в яких випадках можна нехтувати сжимаемостью газів. Найбільше збільшення тиску, яке може вийти при зупинці потоку, так само rv 2/2. де v - максимальне значення швидкості, що зустрічається в потоці. Це надлишковий тиск обумовлено тим, що в місцях зупинки (або уповільнення) потоку газ виявляється стислим сильніше, ніж в тих місцях, де швидкість потоку найбільша. Очевидно, що додаткове стиснення газу буде тим менш помітно, ніж менше rv 2/2 в порівнянні з тиском Р в місцях найбільшої швидкості. Отже, додаткове стиснення газу не відіграє суттєвої ролі, поки rv 2/2 <
Застосуємо рівняння Бернуллі до випадку витікання рідини з невеликого отвору в широкому відкритому посуді. Виділимо в рідині трубку струму, що має своїм перетином з одного боку відкриту поверхню рідини в посудині, а з іншого боку - отвір, через який рідина витікає з посудини. У кожному з цих перетинів швидкість і висоту над деякими вихідним рівнем можна вважати однаковими, тому можна використовувати рівняння (3).
Тиск в обох перетинах дорівнює атмосферному тиску. Крім того, швидкість переміщення відкритій поверхні в широкому посудині можна покласти рівною нулю. Тоді (3) можна переписати в наступному вигляді.
Скорочуємо на щільність r і вводимо v2 = v. враховуємо, що h = h1 - h2 - висота відкритої поверхні над отвором. Отримаємо.
Ця формула називається формулою Торрічеллі.
Отже, швидкість витікання рідини з отвору, розташованого на глибині h під відкритою поверхнею, збігається зі швидкістю, яку набуває тіло, падаючи з висоти h. Це для ідеальної рідини. Для реальних рідин швидкість витікання буде менше, причому тим сильніше відрізняється від значення (5), чим більше в'язкість рідини.
При русі рідин і газів в них виникають сили внутрішнього тертя. Розглянемо схему досвіду. Візьмемо дві паралельно розташовані один над одним горизонтальні скляні пластинки (знежирені і очищені) з шаром води або іншої рідини між ними. Верхню пластину наведемо в рух. Шар рідини, що прилягає безпосередньо до верхньої пластині, завдяки силам молекулярного зчеплення прилипає до неї і рухається разом з платівкою. Шар рідини, що прилип до нижньої пластині, залишається разом з нею в спокої. Проміжні шари рухаються так, що кожен верхній з них має швидкість більшою, ніж під ним лежить.
Тому кожен верхній шар володіє відносно сусіднього нижнього шару швидкістю, спрямованої в бік руху пластинки. Нижній шар щодо верхнього рухається зі швидкістю протилежного напрямку. Тому з боку нижнього шару на верхній діє сила тертя, що уповільнює рух другого з них, і назад, з боку верхнього на нижній - прискорює рух.
Сили, що виникають між шарами рідини, котрі відчувають відносне переміщення, називають внутрішнім тертям. Властивості рідини, пов'язані з наявністю сил внутрішнього тертя, називають в'язкістю.
Якщо шари рідини рухаються з різними швидкостями, то крім того, що виникають сили взаємодії між шарами молекул, що зміщуються відносно один одного, додатково виникає обмін імпульсом між шарами в результаті безладного руху молекул. Молекули, що переходять із шару, що володіє більшою швидкістю, в шар, що переміщається повільніше, збільшують сумарний імпульс у другому шарі і, навпаки, молекули переходять з другого шару в перший, зменшують його сумарний імпульс.
Взаємний обмін імпульсом і взаємодія молекул і створюють внутрішнє тертя в рідині. У газах внутрішнє тертя створюється головним чином завдяки обміну імпульсом.
Ньютон вперше припустив, що сила внутрішнього тертя між двома шарами рідини прямо пропорційна різниці швидкостей Dv. площі їхнього зіткнення S і обернено пропорційна відстані між шарами Dh.
h - коефіцієнт пропорційності, що називається коефіцієнтом в'язкості (динамічна в'язкість). Величина зворотна динамічної в'язкості називається плинністю. Існує також коефіцієнт кінематичної в'язкості v = h / r. де r - щільність рідини.
У межі для двох нескінченно близьких шарів.
градієнт швидкості (характеризує швидкість зміни швидкості в напрямку нормалі до поверхні, що труться шарів).
В СІ одиниця вимірювання коефіцієнта динамічної в'язкості (Н × с) / м 2. або кг / (м × с), або Па × с.
Величина коефіцієнта в'язкості змінюється в залежності від температури. В'язкість газів з ростом температури збільшується, а рідин - зменшується. Це і зрозуміло, з ростом температури збільшується рухливість молекул і обмін імпульсом між шарами газу. У рідини цей обмін грає відносно меншу роль, а міжмолекулярної взаємодії при підвищенні температури і збільшенні рухливості молекул слабшає.
В'язкість в русі реальної рідини позначається двояко: по-перше, вона створює передачу імпульсу від шару до шару, завдяки чому швидкості в потоці змінюються від точки до точки безперервно; по-друге, переводить частину механічної енергії потоку в його внутрішню енергію.
Для наочності наведемо таблицю коефіцієнта в'язкості при атмосферному тиску від температури для різних речовин.