Завдання 1.
Спочатку зауважимо, що сумою двох послідовних чисел число 100 не одержати, тому що з двох послідовних, одне буде парним, а інший непарним, і їх сума обов'язково буде непарним числом. Якщо ж скласти 3 послідовних натуральних числа: n + n + 1 + n + 2, то їх сума 3n + 3 буде обов'язково ділитися на 3, отже, і тут ми число 100 не отримаємо. Для чотирьох доданків виявиться, що їх сума n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 дає залишок 2 при діленні на 4, а 100 ділиться на 4 без остачі, отже, і тут невдача.
Розглянемо в загальному випадку суму k послідовних натуральних чисел.
n + n + 1 + n + 2 +. + N + k-1 = kn + k (k-1) / 2
Звідси видно, що при непарних k сума буде ділитися на k, а при парних k сума k послідовних натуральних чисел буде давати залишок k / 2 при діленні на k, і, отже, буде ділитися на k / 2.
З'ясуємо тепер, яке найбільшу кількість послідовних доданків може утворити суму в 100. Оскільки найменша за величиною сума з 14-ти доданків 1 + 2 +. + 14 = 14 * 15/2 = 105> 100, то досить перебрати всі k, не великі 13-ти. З непарних підходить тільки 5, тому що на 7, 9, 11 або 13 число 100 не ділиться. З парних підходить тільки 8 (100 = 12 * 8 + 4).
Можна навести й відповідні розбиття:
100 = 18 + 19 + 20 + 21 + 22
100 = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16
Отже, відповідь Б: 2 способи.
До речі, цікаво знайти тризначне число, яке можна представити у вигляді суми декількох послідовних натуральних чисел найбільшою кількістю способів. Але це вже зовсім інша історія :-).
Завдання 2.
Хмм ... цікаво. Цифри 0 і 1, а також варіанти відповіді А: 128 і Г: 512 наштовхують на думку про використання двійкової системи числення. І справді, завдання можна переформулювати так: скільки одиниць використовується в двійковій запису всіх чисел від 1 (навіть від 0, на відповідь це не вплине) до 127? (Від 0000000 до 1111111?)
Але ж з цих 128-ми чисел в кожному з семи довічних розрядів рівно у половини варто одиниця, в іншої половини - 0. Маємо 7 * 64 = 448 одиниць у всіх числах. Відповідь В. 448.
Завдання 3.
Перший варіант відповіді змушує згадати про правильно-неправильних скорочення і виносах з кореня, коли виконуючи невірні з математичної точки зору дії ми отримуємо вірний результат. Однак навряд чи тут це. Варіант більше схожий на правду, враховуючи, що для близьких до даних в умови числах 300, 400 і 500 рівність виконується (збільшений в 100 раз єгипетський трикутник).
Стоп! А якщо ми єгипетський трикутник збільшимо не в 100, а в 101 разів, що отримаємо? Якраз цю трійку: 303, 404, 505. Значить, остаточно, відповідь В.
Завдання 4.
Питання звучить «В якому склянці какао?», Значить, стакан з какао один. Тоді в двох з інших чотирьох склянок кави, і в двох - молоко.
У першому склянці какао бути не може, тому що його обсяг максимальний і 2 інших склянки не зможуть займати вдвічі більший обсяг. А другий стакан (750г) підходить, тоді кава буде в першому і третьому склянках (950 + 550). Оскільки тест передбачає однозначну відповідь, на цьому можна і зупинитися, заощадивши дорогоцінний час на вирішення інших завдань. Нам же з вами можна спокійно посидіти і переконатися, що дійсно ні для якого з решти склянок можна знайти двох інших таких, щоб вони займали вдвічі більший обсяг. Відповідь Б.
Завдання 5.
Звернемо увагу, що в формулюванні завдання не говориться стандартна фраза «вагою самої конструкції можна знехтувати». Але ж вона і справді не потрібна - все поперечини врівноважують один одного і на рішення не впливають.
З правої частини зауважимо, що трапеція дорівнює за вагою двом кулькам.
З лівої частини одне сердечко одно за вагою двом кубиках.
Значить, 6 кубиків рівні чотирьох кульок. 6 кубиків важать 120г, значить 1 кубик важить 20г. Відповідь Б.