Основні труднощі в подібних прикладах полягає в тому, що необхідно отримані рішення зіставляти зі знайденою областю визначення, тут легко можна допустити помилку через неуважність.
Рішенням системи завжди є пара (ри) чисел х і у, записується як (х; у). Обов'язково після того як отримали відповідь робіть перевірку. Для вас представлено три способи, ні, не способу, а три шляхи міркування, якими можна піти. Особисто мені найбільш близький третій. приступимо:
Вирішіть систему рівнянь:
Знайдемо область визначення рівняння. Відомо, що подкоренное вираз має позитивне значення:
Вирішуючи нерівність 6х - х 2 + 8 ≥ 0 отримаємо 2 ≤ х ≤ 4 (1).
Величини 2 і 4 це радіани, 1 радіан як ми знаємо ≈ 57,297 0
В градусах приблизно можемо записати 114,549 0 ≤ х ≤ 229,188 0.
Вирішуючи нерівність 2 - y - у 2 ≥ 0 отримаємо - 2 ≤ у ≤ 1 (2).
В градусах можемо записати - 114,549 0 ≤ у ≤ 57,297 0.
Вирішуючи нерівність sin x ≥ 0 отримаємо, що
Вирішуючи нерівність cos y ≥ 0 отримаємо, що
Розглянемо перше рівняння:
1. Воно дорівнює нулю при х = 2 або при х = 4, але 4 радіана не належить визначення виразу (3).
* Кут в 4 радіана (229,188 0) лежить у третій чверті, в ній значення синуса негативно. Тому
залишається тільки корінь х = 2.
Розглянемо друге рівняння при х = 2.
При цьому значенні х вираз 2 - y - у 2 має дорівнювати нулю, так як
Вирішимо 2 - y - у 2 = 0, отримаємо y = - 2 або y = 1.
Відзначимо, що при y = - 2 корінь з cos y не має рішення.
* Кут в -2 радіана (- 114,549 0) лежить у третій чверті, а в ній значення косинуса негативно.
Тому залишається тільки y = 1.
Таким чином, рішенням системи буде пара (2; 1).
2. Перше рівняння так само дорівнює нулю при cos y = 0, тобто при
Але з огляду на знайдену область визначення (2), отримаємо:
Розглянемо друге рівняння при цьому у.
Вираз 2 - y - у 2 при у = - Пі / 2 не дорівнює нулю, значить для того, щоб воно мало рішення має виконуватися умова:
З огляду на знайдену область визначення (1) отримуємо, що
Таким чином, рішенням системи є ще одна пара:
* Ми знайшли область визначення. Далі почали розглядати перше рівняння і враховуючи область визначення вирахували «по колу» все множники в системі.
Знайдемо область визначення для вираження:
Відомо, що вираз під коренем має позитивне значення.
Вирішуючи нерівність 6х - х 2 + 8 ≥ 0, отримаємо 2 ≤ х ≤ 4 (2 і 4 це радіани).
Розглянемо Випадок 1:
Нехай х = 2 або х = 4.
Якщо х = 4, то sin x <0. Если х = 2, то sin x> 0.
З огляду на те, що sin x ≠ 0, виходить, що в цьому випадку в другому рівнянні системи 2 - y - у 2 = 0.
Вирішуючи рівняння отримаємо, що y = - 2 або y = 1.
Аналізуючи отримані значення можемо сказати, що х = 4 і y = - 2 не є корінням, так як отримаємо sin x <0 и cos y <0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).
Видно, що х = 2 і y = 1 входять область визначення.
Таким чином, рішенням є пара (2; 1).
Розглянемо Випадок 2:
Нехай тепер 2 <х <4, тогда 6х – х 2 + 8> 0. Виходячи з цього можемо зробити висновок, що в першому рівнянні cos y має дорівнювати нулю.
Вирішуємо рівняння, отримаємо:
У другому рівнянні при знаходженні області визначення виразу:
З усіх рішень рівняння cos y = 0 цій умові задовольняє тільки:
При цьому значенні у, вираз 2 - y - у 2 ≠ 0. Отже, у другому рівнянні sin x буде дорівнювати нулю, отримаємо:
З усіх рішень цього рівняння інтервалу 2 <х <4 принадлежит только
Значить рішенням системи буде ущё пара:
* Область визначення відразу для всіх виразів в системі знаходити не стали, розглянули вираз з першого рівняння (2 випадки) і далі вже по ходу визначали відповідність знайдених рішень з встановленої областю визначення. На мій погляд не дуже зручно, як-то плутано виходить.
Він схожий з першим, але є відмінності. Також спочатку знаходиться область визначення для виразів. Потім окремо вирішується перше і друге рівняння, далі знаходиться рішення системи.
Знайдемо область визначення. Відомо, що подкоренное вираз має позитивне значення:
Вирішуючи нерівність 6х - х 2 + 8 ≥ 0 отримаємо 2 ≤ х ≤ 4 (1).
Величини 2 і 4 це радіани, 1 радіан як ми знаємо ≈ 57,297 0
В градусах приблизно можемо записати 114,549 0 ≤ х ≤ 229,188 0.
Вирішуючи нерівність 2 - y - у 2 ≥ 0 отримаємо - 2 ≤ у ≤ 1 (2).
В градусах можемо записати - 114,549 0 ≤ у ≤ 57,297 0.
Вирішуючи нерівність sin x ≥ 0 отримаємо, що
Вирішуючи нерівність cos y ≥ 0 отримаємо, що
Відомо, що добуток дорівнює нулю тоді, коли один з множників дорівнює нулю (і інші при цьому не втрачають сенсу).
Розглянемо перше рівняння:
Рішенням cos y = 0 є:
Рішенням 6х - х 2 + 8 = 0 є х = 2 і х = 4.
Розглянемо друге рівняння:
Рішенням sin x = 0 є:
Рішенням рівняння 2 - y - у 2 = 0 будуть y = - 2 або y = 1.
Тепер з огляду на область визначення проаналізуємо
Так як 114,549 0 ≤ х ≤ 229,188 0. то даному відрізку належить тільки одне рішення рівняння sin x = 0, це x = Пі.
Так як - 114,549 0 ≤ у ≤ 57,297 0. то даному відрізку належить тільки одне рішення рівняння cos y = 0, це
Розглянемо коріння х = 2 і х = 4.
З того, що sin x ≥ 0, слід, що х = 4 НЕ буде коренем, так як
Розглянемо коріння y = - 2 і y = 1.
З того, що cos x ≥ 0, слід, що у = -2 буде коренем, так як
Далі просто необхідно перебрати всі можливі рішення:
Тобто підставити їх в систему і перевірити!
Невірно, значить дана пара не є рішенням!
Невірно, значить дана пара не є рішенням!
Таким чином, рішенням системи будуть дві пари чисел:
* Тут враховуючи знайдену область визначення ми виключили всі отримані значення, які не належать їй і далі перебрали всі варіанти можливих пар. Далі перевірили, які з них є рішенням системи.
Рекомендую відразу на самому початку вирішення рівнянь, нерівностей, їх систем, якщо є коріння, логарифми, тригонометричні функції, обов'язково знаходити область визначення. Є, звичайно, такі приклади, де простіше буває відразу вирішити, а потім просто перевірити рішення, але таких відносна меншість.
От і все. Успіху Вам!