Приклад 1. Алгебра N = (N; +) не є групою, так як вони не виконуються аксіоми G2 і G3.
Приклад 2. Алгебра N = (N; ×) не є групою, так як порушується аксіома G3.
Приклад 3. Довести, що алгебри Z = (Z; +), Q = (Q; +), R = (R; +), C = (C; +) є адитивними нескінченними абелевих груп.
Доведення. Покажемо, наприклад, що Z = (Z; +) є адитивною нескінченної абелевих групою. Справді, виконуються аксіоми:
Крім того, безліч Z - нескінченне.
Що потрібно було довести.
Приклад 4. Довести, що алгебри Q * = (Q *; ×), R * = (R *; ×), C * = (C *; ×) є мультиплікативними Абелеві нескінченними групами.
Доведення. Доведемо, наприклад, що алгебра C * = (С *; ×), де С * = C \ є мультиплікативної абелевих нескінченної групою. Для цього перевіряємо виконання аксіом G1 - G4. маємо:
Крім того, С * - безліч.
Що потрібно було довести.
Зауважимо, що алгебри Q = (Q; ×), R = (R; ×), C = (C; ×) не є групами, так як порушується аксіома G3 (для 0 не існує зворотного елемента, оскільки елемент не визначається в цих множинах).
Приклад 5. Алгебра Z = (Z; ×) не є групою, так як аксіома G3 не виконується.
Приклад 6. З властивостей операцій над підстановками Фn слід, що алгебра (n>; ×) є мультипликативной групою кінцевого порядку n. Ця група називається симетричної і позначається через S n.
Приклади 7 - 12. Теорія геометричних перетворень площини (див. Курс геометрії) нам подає такі нескінченні мультиплікативні групи: 7) D = (D; ×) -група всіх рухів площині; 8) T = (Т; ×) - група всіх паралельних переносів площині; 9) Ro a = (Ro a; ×) -група всіх обертань площині навколо точки О; 10) A = (A; ×) -група афінних перетворень площини; 11) Ð = (Р; ×) -група проектних перетворень площині; 12) F = (F; ×) -група симетрій геометричної фігури.
Приклад 13. Позначимо через R [x] - безліч всіх многочленів від однієї змінної х з коефіцієнтами з безлічі дійсних чисел R. Тоді покажемо, що алгебра R [x] = (R [x]; +) є адитивною нескінченної абелевих групою. Справді, виконуються аксіоми:
Крім того, безліч R [x] - нескінченне.
Що потрібно було довести.
Приклад 14. Тривіальні кінцеві близько 1 абелеві групи: 0 = (; +) - адитивна, Å = (; ×) - мультиплікативна.
Приклад 15. Легко перевірити, що алгебра G = (; ×) є мультиплікативної абелевих групою близько 2.
Приклад 16. Показати, що безліч всіх коренів n-го ступеня з 1 щодо множення утворює абелеву групу.
Доведення. Нагадаємо, що значення
називають корінням n-го ступеня з 1. На комплексній площині коріння n - го ступеня з 1 зображуються вершинами правильного n - кутника, вписаного в коло одиничного радіуса.
Перевіримо виконання аксіом G1, G2 ¢. другого визначення групи:
G2 ¢. У безлічі коренів n - го ступеня з 1 здійсненна операція ділення. Справді, якщо em і es - будь-які коріння n - го ступеня з 1, то. тобто приватна є корінь n-го ступеня з 1. З коммутативности множення комплексних чисел слід коммутативность множення коренів n - го ступеня з 1: em es = es em.
Отже, алгебра (; ×) - мультиплікативна абелева група кінцевого порядку n.
Що потрібно було довести.
Приклад 17. Так як складання квадратних матриць n - го порядку має властивості:
Приклад 18. Довести, що безліч Z утворює групу щодо дії, заданого формулою:
а * b = a - b, якщо а - непарне число, b - будь-яке ціле число>. Доведення. 1. Що розглядається на Z дію зводиться до складання або віднімання цілих чисел, а оскільки як додавання, так і віднімання елементів з Z дає в результаті елемент з Z, то на безлічі Z розглядається дія є бінарної операцією. G1. Проаналізуємо можливі випадки: в) Якщо а - непарне число, b - парне число, а з - будь-яке число з Z, то a - b непарній і тому (a * b) * c = (a - b) - c. a * (b * c) = Отже, у всіх можливих випадках задана на Z бінарна операція * є асоціативної. G2. Так як 0 - парне число, то 0 * а = 0 + а = а. Крім того, якщо а парне, то а * 0 = а + 0 = а; якщо ж а непарній, то а * 0 = а - 0 = а. Отже, у всіх випадках 0 * а = а * 0 = а. тобто 0 є в Z нейтральним елементом щодо заданої бінарної операції *. G3. Для будь-якого елементу а ÎZ в Z існує симетричний йому елемент s (a): для парного а симетричним елементом буде протилежне число -а. так як а * (- а) = а + (-а) = 0; для непарного а симетричним елементом буде саме число а. так як Отже, виконуються аксіоми G1-G3 і тому алгебра Z = (Z; *) На відміну від групи (Z; +) ця група не є абельовой, оскільки не виконується додаткова аксіома G4. Справді, наприклад, 4 * 5 = 4 + 5 = 9, 5 * 4 = 5 - 4 = 1, тобто 4 * 5 ¹ 5 * 4. Що потрібно було довести. Приклад 19. Довести, що алгебра Zm = (Zm; +), де Zm = =<> - безліч класів відрахувань по модулю m, є адитивною абельовой групою порядку m. Доведення. Нагадаємо, що складання будь-яких двох класів відрахувань і, i. j = 0, 1, 2, ..., m - 1, визначається наступним чином: Легко довести, що певна таким чином сума класів відрахувань, не залежить від вибору окремих представників класів, використовуваних при складанні суми. Перевіримо для Zm справедливість умов, що визначають аддитивную абелеву групу. Дійсно, за визначенням сума класів відрахувань і по модулю m являє собою єдиний, цілком певний клас відрахувань з цього ж модулю (замкнутість дії додавання). (Асоціативність операції додавання). (Існування нульового елемента). (Існування для кожного елемента протилежної йому). Відзначимо, що під час перевірки здійсненності зазначених вище умов для класів відрахувань, ми істотно використовували справедливість цих же умов для безлічі цілих чисел. Що потрібно було довести.Схожі статті