Дія можна представити у вигляді (звичайний вираз через функцію Лагранжа:). Можна показати, що. а. тоді
- рівняння Гамільтона - Якобі.
Воно є рівнянням в приватних похідних першого порядку.
Повний інтеграл - це рішення диференціального рівняння в приватних похідних, що містить стільки незалежних довільних постійних, скільки є незалежних змінних.
У рівнянні Гамільтона - Якобі незалежними є і; таким чином, повний інтеграл повинен містити довільних постійних. Так як функція входить в рівняння тільки через свої похідні, то одна з довільних постійних міститься в повному інтегралі адитивним чином, тобто повний інтеграл рівняння Гамільтона-Якобі має вигляд:. де і - довільні постійні.
З'ясуємо тепер зв'язок між повним інтегралом рівняння Гамільтона-Якобі і рішенням рівнянь руху. Проведемо канонічне перетворення від до нових змінних. Функцію виберемо в якості виробляє, а - як нових імпульсів. Нові координати -. Використовуємо формули канонічного перетворення:.
Так як функція задовольняє рівнянню Гамільтона-Якобі, то ми бачимо, що нова функція Гамільтона дорівнює 0:. отже, канонічні рівняння для нових змінних мають вигляд:
З іншого боку, рівнянь дають можливість висловити координат через та постійних і. Так можна знайти загальний інтеграл рівнянь руху.
У підсумку, метод Гамільтона - Якобі зводиться до наступних операцій:
За функції складається рівняння Гамільтона-Якобі і знаходиться повний інтеграл виду.
Диференціюючи його по довільним постійним і прирівнюючи до нових постійним. отримуємо систему алгебраїчних рівнянь виду:. вирішуючи яку знайдемо координати як функції часу і довільних постійних.
Залежність можна знайти потім з рівнянь
Якщо не залежить від часу явно, тобто система є консервативною, то рівняння Гамільтона-Якобі має більш простий вигляд. При цьому . де - вкорочене дію. Тоді, підставивши це в рівняння Гамільтона-Якобі, отримуємо нове рівняння Гамільтона-Якобі для у вигляді:. де - енергія системи.