§ 1.20. Рівняння Гамільтона - Якобі. Метод Гамільтона - Якобі
В §§ 1.13-1.19 були приведені канонічні форми рівнянь абсолютного і відносного руху завдання тел. Інтегрування канонічних рівнянь руху механічної схеми з ступенями свободи тісно пов'язане з інтеграцією одного рівняння в приватних похідних, званого рівнянням Гамільтона - Якобі. Воно має вигляд
Правило його складання наступне: узагальнені імпульси входять в функцію Гамільтона Н (4.1.51), замінюються приватними похідними деякої невідомої функції після чого записується рівняння (4.1.67).
Якщо функція Гамільтона Н не залежить явно від то замість рівняння (4.1.67) зазвичай записується рівняння
з невідомою функцією Перехід від рівняння (4.1.68) до рівняння (4.1.67) здійснюється заміною
Визначення. Повним інтегралом рівняння в приватних похідних першого порядку називається таке його рішення, в якому число неаддитивних (істотно різних) довільних постійних дорівнює числу незалежних змінних.
Якщо в рівняння в приватних похідних не входить сама функція як це має місце в рівнянні Гамільтона - Якобі, то число істотно різних довільних постійних на одиницю менше [10].
Якобі довів [10], що знаходження спільної інтеграла канонічної системи (4.1.52) еквівалентно знаходженню повного інтеграла рівняння Гамільтона - Якобі (4.1.67). Це твердження відоме під назвою теореми Гамільтона - Якобі.
Теорема Гамільтона-Якобі. Якщо відомий повний інтеграл рівняння Гамільтона-Якобі (4.1.67), то загальний інтеграл канонічної системи (4.1.52) дається рівністю
Перші рівнянь визначають узагальнені координати як функції і довільних постійних Підставляючи другу групу рівнянь (4.1.70), знаходимо узагальнені імпульси як функції і довільних
Якщо відомо спільне рішення канонічної системи рівнянь (4.1.52)
то методом Якобі [10] можна побудувати повний інтеграл рівняння (4.1.67).
Маємо диференціальне рівність
Знайдемо з перших рівності (4.1.71) величини і підставимо їх у інші співвідношень. отримаємо
Якщо в рівності (4.1.72) замінити на те, згідно з методом Якобі, воно буде повним диференціалом функції Його інтегрування дає нам повний інтеграл рівняння Гамільтона - Якобі, так як знайдена функція залежить від.
Якщо є повним інтегралом рівняння Гамільтона - Якобі (4.1.68), то загальний інтеграл канонічної системи (4.1.52) виражається рівністю