Загальне рівняння Риккати
Рівняння Риккати є одним з найбільш цікавих нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Воно записується у формі: \ [y '= a \ left (x \ right) y + b \ left (x \ right) + c \ left (x \ right), \] де \ (a \ left (x \ right ), \) \ (b \ left (x \ right), \) \ (c \ left (x \ right) \) - безперервні функції, що залежать від змінної \ (x. \)
Рівняння Риккати зустрічається в різних областях математики (наприклад, в геометрії алгебри і в теорії конформних відображень) і фізики. Воно також нерідко виникає в прикладних математичних задачах.
Наведене вище рівняння називається загальним рівнянням Риккати. Його рішення засноване на наступній теоремі:
Теорема. Якщо відомо приватне рішення \ (\) рівняння Риккати, то його спільне рішення визначається формулою \ [y = + u. \] Дійсно, підставляючи рішення \ (y = + u \) в рівняння Риккати, маємо: \ [+ u> \ right) ^ \ prime >> = + u> \ right) + b \ left (x \ right) + u> \ right) ^ 2> + c \ left (x \ right),> \] \ [^ \ prime > + u '> => + a \ left (x \ right) u + \ underline + 2b \ left (x \ right) u + b \ left (x \ right) + \ underline.> \] Підкреслені члени в лівій і правій частині можна скоротити, оскільки \ (\) - приватне рішення, яке задовольняє рівняння. В результаті ми отримуємо диференціальне рівняння для функції \ (u \ left (x \ right): \) \ [u '= b \ left (x \ right) + \ left [+ a \ left (x \ right)> \ right ] u, \] яке є рівнянням Бернуллі. Підстановка \ (z = \ large \ frac \ normalsize \) перетворює дане рівняння Бернуллі в лінійне диференціальне рівняння. допускає інтегрування.
Крім загального рівняння Риккати, існує безліч приватних випадків рівняння Риккати з коефіцієнтами \ (a \ left (x \ right), \) \ (b \ left (x \ right), \) \ (c \ left (x \ right) \ ) певного виду. Багато з цих окремих випадків мають інтегровані рішення.
Повертаючись знову до загального рівняння Риккати, ми бачимо, що загальне рішення можна сконструювати, якщо відомо якесь приватне рішення. На жаль, не існує суворого алгоритму для знаходження приватного рішення, яке істотно залежить від виду функцій \ (a \ left (x \ right), \) \ (b \ left (x \ right) \) і \ (c \ left ( x \ right). \)
Нижче ми розглянемо деякі добре відомі окремі випадки рівняння Риккати.
Окремий випадок \ (1: \) Коефіцієнти \ (a, b, c \) - константи.
Якщо коефіцієнти в рівнянні Риккати постійні, то таке рівняння можна привести до рівняння із перемінними. В цьому випадку спільне рішення описується інтегралом від раціональної функції з квадратичним тричленне в знаменнику: \ [+ c,> \; \; >> = ay + b + c,> \; \;> + c >>> = \ int. > \] Цей інтеграл легко обчислюється за будь-яких значеннях \ (a, \) \ (b \) і \ (c \) (Дивіться докладніше про це на сторінці "Інтегрування раціональних функцій").
Окремий випадок \ (2: \) Рівняння виду \ (y '= b + c \)
Розглянемо рівняння Риккати виду \ (y '= b + c, \) коли функція \ (a \ left (x \ right) \) при лінійному члені дорівнює нулю, коефіцієнт \ (b \) при \ (\) є константою, а \ (c \ left (x \ right) \) є ступеневою функцією: \ [a \ left (x \ right) \ equiv 0, \; \; b \ left (x \ right) = b, \; \; c \ left (x \ right) = c. \] Цей випадок рівняння Риккати має чудові рішення!
Перш за все, зауважимо, що якщо \ (n = 0, \) то ми знову приходимо до випадку \ (1 \). в якому змінні розділяються і рівняння можна проінтегрувати.
Якщо \ (n = -2, \) то рівняння Риккати преобразутся в однорідне рівняння з допомогою підстановки \ (y = \ large \ frac \ normalsize \) і далі також допускає інтегрування.
Дане диференціальне рівняння можна також вирішити при \ [n = \ frac >>, \; \; \ text \; \; k = \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \] Тут загальне рішення виражається через циліндричні функції.
При всіх інших значеннях ступеня \ (n \) рішення рівняння Риккати можна виразити через інтеграли від елементарних функцій. Цей факт був встановлений французьким математиком Джозефом Ліувілль \ (\ left (\ right) \) в \ (1841 \) році.
Багато інших окремі випадки рівняння Риккати представлені на сайті EqWorld.