РІВНОВАГИ СТАН динамічної системи - стан динамічної системи. доорої не змінюється в часі. Р. с. може бути стійким, нестійким і байдуже-стійким. Рух системи поблизу рівноваги (при меншому від нього відхиленні) істотно розрізняється залежно від характеру (типу) Р. с. У разі систем з одним ступенем свободи, якщо Р. с. стійко, то при малому обуренні (відхиленні) система повертається до нього, здійснюючи затухаючі коливання (на фазової площині такого руху відповідає стійкий фо-кус - рис. 1, а) або рухаючись аперіодично (стійкий вузол - рис. 2, а). Поблизу нестійкого Р. с. малі відхилення системи наростають, при цьому система здійснює коливання (нестійкий фокус - рис. 1, б) або рухається аперіодично (нестійкий вузол - рис. 2, б); поблизу седлового Р. с. (Рис. 3) можливо спочатку наближення до Р. с. а потім відхід від нього. Нарешті, в разі байдуже-стійкого Р. с. ( "Центр", рис. 4) малі відхилення призводять до незгасаючих коливань поблизу Р. с. Для систем з дек. ступенями свободи рух системи поблизу Р. с. може бути більш складним і істотно залежить від характеру початкового відхилення.
Мал. 1. Поведінка траєкторій в околиці стійкого (а) і нестійкого (б) фокусів; тут n = 2, =; а <0 (а ) и а> 0 (б).
Мал. 3. Стан рівноваги типу "сідло".
Мал. 4. Замкнуті траєкторії в околиці точки типу "центр".
Рух динамічний. системи поблизу Р. с. найчастіше описується лінеарізов. ур-нями, що мають рішення в вигляді сум експонент з комплексними (у загальному випадку) типовий. показниками li - корінням типовий. ур-ня: det (A -lE) = 0, де а Xi - права частина діфференц. ур-ний, що описують досліджувану систему:
х * - рішення, яке відповідає рівновазі, Х (х *) = 0. Якщо Relk <0 (Relk> 0), то Р. с. асимптотично стійко (нестійкий) і через всі крапки в околиці х * проходять траєкторії, які прагнуть до x * при t. (T. -,), - рис. 1.
якщо Relk <0, k=1. т. Relk> 0, j = = т + 1. n. то Р. с.- "сідло"; траєкторії, які прагнуть до нього при t. (T. -,), лежать на стійкому (нестійкому) різноманітті - багатовимірної сепаратріси розмірності т (п - т) - рис. 5.
Мал. 5. "Сідло" в тривимірному фазовому просторі; l2 <
У консервативних (зокрема, гамільтонових) динамічний. системах стійкими (по Ляпунову) можуть бути лише Р. с. з чисто уявними або нульовими lk. Напр. незгасаючі коливання кульки в "потенційній ямі" (рис. 4) описуються рухом точки по замкнутої траєкторії в околиці Р. с. типу "центр", для к-якого
Якщо динамічний. система залежить від параметра, то (навіть і в неконсервативний випадку) при його зміні Relk може звернутися в нуль, і тоді Р. с. може зазнавати біфуркації. пов'язані з втратою (придбанням) стійкості або зі зміною розмірності його сепаратріси (див. також Стійкість руху).
Літ .: Андронов А. А. Вітт А. А. Хай, кін С. 9. Теорія коливань, 3 вид. М. 1981; Бау-тин Н. Н. Леонтович E. А. Методи і прийоми якісного дослідження динамічних систем на площині, М.,
1976; Арнольд В. І. Додаткові глави теорії звичайних диференціальних рівнянь, М. 1 978 ..
В. С. Афраймовіч, М. І. Рабинович.