Логічні проблеми і навіть протиріччя, з якими стикаються математики при розгляді "нескінченно великих" або "нескінченно малих" величин, що розрізняються між собою і навіть належать різним порядкам, відбуваються єдино з того факту, що математики розглядають як нескінченного то, що є просто невизначеним . В цілому вони не схильні звертати увагу на ці проблеми, але все ж ці проблеми існують і не стають від цього менш серйозними, бо вони сприяють появі в математичній науці безлічі нелогічностей або, якщо завгодно, "паралогічное", і така наука втрачає всяке реальне значення і сенс в очах тих, хто не дозволяє затуманювати своє мислення простий грою слів. Наведемо деякі приклади протиріч, що виникають із побудов тих вчених, які допускають існування нескінченних величин, при додатку ними цього поняття до геометричних величин: якщо пряма вважається нескінченною, то її нескінченність повинна бути менше і навіть нескінченно менше, ніж нескінченність поверхні, наприклад, площини, в якій міститься як ця лінія, так і нескінченне число інших ліній, а нескінченність площині буде, в свою чергу, нескінченно меншою, ніж нескінченність тривимірного простору. Самою неможливість співіснування всіх цих нібито нескінченностей, деякі з яких вважаються нескінченними в однаковій мірі, а інші в різному ступені, досить, щоб довести, що жодна з них не може бути воістину нескінченною, навіть крім розглядів будь-яких міркувань вищого метафізичного порядку . Оскільки значення цих істин, безумовно, неможливо переоцінити, знову вважаємо за необхідне повторити: очевидно, що, якщо припускати наявність множинності різних нескінченних, кожне з них буде обмежено іншим, що рівнозначно тому, що вони будуть виключати один одного. При цьому, "інфінітісти" (у яких це словесне нагромадження "безкінечності нескінченностей", по правді кажучи, здається, робить деяку, якщо можна так висловитися, "розумову інтоксикацію") не відступають перед обличчям таких протиріч, оскільки, як уже було сказано, вони не бачать проблеми в утвердженні існування різних нескінченних чисел і, отже, в твердженні, що одна нескінченність може бути більше або менше іншого; але абсурдність таких тверджень занадто очевидна, і той факт, що вони широко вживаються в сучасній математиці, нічого не змінює, але тільки показує, до якої міри в наш час втрачено почуття елементарної логіки. Ще одне не менш кричуще протиріччя може бути виявлено в разі прикладу із замкнутою, отже, очевидно і наочно кінцевої поверхнею, яка тим не менш (як стверджується) містить нескінченну кількість ліній - наприклад, сфера, яка містить нескінченну кількість кіл; тут ми маємо кінцеву ємність, вміст якої нескінченно - як, разом з тим, стан справ і в тому випадку, коли визнається (як у Лейбніца) "актуальна нескінченність" елементів безперервного безлічі.
Навпаки, немає ніякого протиріччя в допущенні співіснування безлічі невизначених величин різних порядків. Так, лінія, невизначена в одному вимірі, може в цьому сенсі розглядатися як складова просту невизначеність першого порядку; поверхню, невизначена в двох вимірах і охоплює невизначений безліч невизначених ліній, може розглядатися як невизначеність другого порядку; а тривимірний простір, яка охоплює невизначену кількість невизначених поверхонь, таким же чином буде невизначеністю третього порядку. Тут важливо ще раз підкреслити, що, як ми сказали, "поверхню обіймає невизначену кількість ліній", а не "складається з невизначеного кількості ліній", так само як лінія не складається з точок, а скоріше укладає в собі невизначений безліч точок; те ж саме в разі обсягу по відношенню до поверхонь - тривимірний простір є нічим іншим, як невизначеним обсягом *. Разом з тим, все це, по суті, повторює сказане нами з приводу "неподільних" і "структури континууму"; як раз питання такого роду, саме в силу їх складності, вимагають найбільш суворого викладу. В цьому відношенні також слід додати, що якщо з деякої точки зору можна обґрунтовано вважати, що лінія породжується точкою, поверхня лінією, а обсяг поверхнею, це по суті передбачає, що точка, лінія або поверхня зміщуються за допомогою безперервного руху, що включає невизначений безліч послідовних * * положень; і такий спосіб розгляду зовсім відмінний від розгляду всіх цих положень окремо, тобто від розгляду цих точок, ліній і поверхонь як постійних і певних, як складових частини або елементи лінії, поверхні або обсягу, відповідно. Таким же чином, тільки навпаки, при розгляді поверхні як перетину двох обсягів, лінії як перетину двох поверхонь і точки як перетину двох ліній, ці перетину, звичайно ж, жодним чином не повинні розглядатися як частини обсягів, поверхонь і ліній; вони являють собою тільки їх межі або краю, як зауважив Лейбніц.
* Тут Генон швидше зближується з поглядами тих контінуалістов, які вважали, що континуум отримує протяжність і безперервність не за допомогою "руху" своїх складових, а за допомогою самого себе (див. Прим. До гл. 15). У будь-якому випадку, погляди Генона на природу континууму, як і на дискретну онтологію, що не виявляють "найбільш суворого викладу", а є вкрай невиразними, що яскраво проявляється в гл. 23. (прим. Перекл.)
** "Послідовність" може мати місце тільки в разі дискретного, але не континуальної. Про поглядах Генона на "породження" лінії, площини і т.д. "Рухом" см. Прим. до гл. 15. (прим. Перекл.)
Згідно зі щойно сказаного, кожний вимір як би вводить новий градус невизначеності в простір, тобто в просторовий континуум, оскільки він схильний до невизначеного зростанню протяжності, і таким чином кожне вимір становить те, що можна позначити як послідовні ступені невизначеного 1; і можна сказати, що невизначена величина деякого порядку або ступеня містить невизначений безліч невизначених величин нижчого порядку або попереднього ступеня. Оскільки стосовно до всього цього мова йде тільки про невизначеному, ці міркування, так само як і інші подібного роду, мають абсолютно прийнятний характер при будь-якій точці зору, бо між множинними різними невизначеними величинами не існує несумісності, так як ці величини, незважаючи на їх невизначеність , все ж в принципі кінцеві за своєю природою і, як і всі інші приватні і обумовлені можливості, зважаючи на це прекрасно можуть співіснувати всередині загальної всіляких - а одна лише вона є бескон ної, оскільки вона тотожна універсального Всьому 2. Ці ж самі міркування беруть неможливі і абсурдні форми тільки коли невизначений змішується з нескінченним; так, в разі поняття "нескінченної кількості" ми знову маємо приклад, в якому криється протиріччя, властиве так званому обумовленому нескінченного, - воно спотворює тут іншу ідею, ідею безлічі, хоча саму по собі не суперечливу, але цим самим перетворюється практично в невпізнанну.
1 Пор. Символізм хреста. гл. 12.
2 Пор. Множинність станів сущого. гл. 1.
Ми тільки що говорили про різні ступені невизначеності щодо суми, взятих в порядку зростання; застосовуючи те саме поняття до порядку убування, ми вище вже обгрунтували міркування різних порядків нескінченно малих величин, можливість яких тим більше очевидна в світлі зазначеного нами раніше відповідності між невизначено зростаючими і невизначено убутними величинами. Серед невизначених величин різних порядків величини, що належать до порядків після першого, завжди будуть невизначені по відношенню до величин попереднього порядку, а також по відношенню до певних величин; і, в свою чергу, щодо нескінченно малих величин різних порядків рівним чином можна обґрунтовано вважати, що величини кожного з порядків є нескінченно малими не тільки по відношенню до звичайних величинам, але і по відношенню до нескінченно малим величинам попередніх порядків 3. Не існує абсолютної різнорідності між невизначеними величинами і звичайними величинами, як і між нескінченно малими величинами і звичайними величинами; коротко кажучи, це питання відмінності тільки в ступені, але не в роді, оскільки в дійсності розгляд невизначеності будь-якого порядку або ступеня ніколи не виводить нас за межі області кінцевого; до того ж видимість корінний різнорідності між різними порядками величин (по суті, абсолютно невиразна) стає можливою тільки в результаті помилкового уявлення про нескінченному. Для усунення такої різнорідності повинен бути введений тип континуальности, вельми відмінний від розглянутого Лейбніцем щодо змінних і їх меж і значно краще вкорінений в реальності, бо всупереч конструкцій Лейбніца відмінність між змінними і постійними величинами в принципі має на увазі відмінність їх природи.
3 Згідно з усталеною практикою, ми вживаємо термін "інфінітезимального" [infinitesimal] (нескінченно малі) для позначення невизначено відбувають величин, а невизначено зростаючі величини називаємо просто "невизначеними"; досить дивно, що Карно називав і ті, і інші "інфінітезимального" [infinitesimal], всупереч не тільки до усталеної практики, але і очевидному походженням цього терміна. Хоча ми і продовжуємо вживати термін "нескінченно малі" [ "інфінітезимального" - infinitesimal], ми повинні зауважити, що цей термін має один суттєвий недолік, а саме, він очевидно походить від слова "нескінченний" [ "infinitesimal" від "infinity" - прим. перев. ], Що навряд чи дозволяє йому відповідати позначається їм ідеї; для адекватного його вживання слід, так би мовити, не брати до уваги його походження або, принаймні, надати йому чисто "історичний" характер, як що випливає з концепції "міцно вкорінених фікцій" Лейбніца.
При таких умовах, самі звичайні величини можуть деяким чином розглядатися як нескінченно малі щодо невизначено зростаючих величин, по крайней мере, при розгляді змінних, бо, якщо величина може бути задана настільки великий, як завгодно щодо іншої, то, в свою чергу, ця інша буде так само настільки малою, як завгодно щодо першої. Ми помітили, що повинні розглядатися змінні, тому що нескінченно мала величина завжди повинна розумітися як в принципі змінна, і це обмеження властиво самій її природі; разом з тим, величини, що належать двом різним порядкам невизначеності, неминуче є змінними відносно один одного, і це властивість взаємної й обопільної змінності абсолютно симетрично, бо, відповідно до сказаного щойно, вважати одну величину невизначено зростаючої щодо іншої рівнозначно тому, щоб вважати цю іншу величину невизначено спадної щодо першої; без цієї взаємної змінності не може бути ні невизначеного зростання, ні невизначеного убування, а тільки певні знаходять співвідношення між двома величинами.
Таким же чином, якщо має місце зміна положення двох тіл А і Б, сказати, що тіло А знаходиться в русі щодо тіла Б рівнозначно тому, щоб сказати, що тіло Б знаходиться в русі щодо тіла А, по крайней мере, якщо розглядати тільки зміна їх положення само по собі; в цьому відношенні, поняття взаємного руху являтся настільки ж симетричним, як і щойно розглянуте поняття взаємної змінності. Тому, згідно Лейбніца - який використовував це поняття для демонстрації недостатності картезіанського механіцизму як фізичної теорії, котра прагнула дати пояснення всім природним явищам, - неможливо розрізнити стану руху та спокою при розгляді тільки змін положення; для їх розрізнення необхідно залучити щось іншого порядку, а саме поняття сили, яка є безпосередньою причиною таких змін, і яка може бути приписана тільки одному тілу, і, таким чином, виявляє знаходження причини змін в одному тілі і тільки в ньому одному 4.
4 Див. Лейбніц, Discours de Métaphysique. гл. 18; пор. Царство кількості і знаки часу. гл. 14.