Далі перед учителем виникає проблема спонукати у учнів бажання самостійно шукати різні способи доведення теорем. Вже згадана діяльність буде ефективною в тому випадку, якщо вчитель, перед тим, як запропонувати хлопцям довести теорему, досконально вивчить її сам: відшукає способи докази і встановить можливі зв'язки її з іншими теоремами. Тільки тоді він по-справжньому оцінить пізнавальні можливості теореми і організовує відповідну роботу з учнями в класі і на позакласних заняттях. Особливо це важливо на початковому етапі вивчення геометрії в 7 класі - заронити потреба в пошуку нових доказів на наступних етапах вивчення геометрії.
У даній статті ставиться мета поділитися досвідом докази деяких теорем різними способами.
Розглянемо кілька теорем з курсу геометрії 7-11 класів.
Як можна довести ця теореми в підручниках Л.С.Атанасяна і А.В.Погорелова всім відомо, тому я приведу менш відомі докази.
Теорема про суму кутів трикутника.
Сума кутів в трикутнику дорівнює 180º.
Наведено в підручнику «Геометрія 9-10» А.Кіселева.
Від точки А відкладемо рівні відрізки: AM = AN (рис.9). Точки M і N c оедінім з точками O і S. У Δ MON OA є одночасно висота та медіана, тобто цей трикутник рівнобедрений: OM = ON. Прямокутні трикутники OSM і OSN рівні (за двома катетам). З їх рівності випливає, що SM = SN і SA - медіана рівнобедреного трикутника MSN. Значить, SA - висота цього трикутника, тобто SA ┴ MN.
(Доказ зворотної теореми)
На прямій t візьмемо довільну точку B (рис.8) і з'єднаємо її з точками O і S. З прямокутних трикутників SOB. SOA і AOB.
Віднявши з першої рівності друге, отримаємо: SB 2 - SA 2 = OB 2 - OA 2. Взявши до уваги третій рівність, матимемо: SB 2 - SA 2 = AB 2. SB 2 = = SA 2 + AB 2. Згідно зворотного теоремі Піфагора SA ┴ AB. тобто t ┴ SA.
Теорема про суму внутрішніх кутів опуклого n -угольніка.
Сума внутрішніх кутів опуклого n -угольніка дорівнює 180º (n -2).
Коли у хлопців виробиться навичка пошуку доказів теорем, при вивченні теми «Теорема про суму внутрішніх кутів опуклого n -угольніка», можна провести наступну роботу.
Учні класу в залежності від здібностей діляться на групи. Кожна група «шукає своє доказ» теореми про суму внутрішніх кутів опуклого n -угольніка.
Учні класу, члени математичного гуртка, доводять цю теорему методом математичної індукції: при n = 3 формула 180º (n - 2) в силу теореми про суму кутів трикутника; далі передбачається істинність цієї формули при n = k і доводиться її справедливість для n = k + 1. А саме: 180º (k + 1 - 2) = 180º (k - 1) = 180º (n - 1 - 1) = 180º ( n - 2). Друга група учнів проводить доказ теореми з опорою на рис.10. Хлопці помічають, що якщо n - кількість сторін багатокутника, то n - 2 - кількість які утворилися трикутників. І тому сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º, то сума внутрішніх кутів опуклого n -угольніка дорівнює 180º (n -2).
Кожна група учнів витрачає на пошук докази близько 10 хвилин. Після цього представник групи на дошці демонструє класу знайдене доказ теореми.
Обмежуючись наведеними прикладами, треба відзначити позитивний досвід систематичного використання цього методичного підходу в викладанні геометрії. Привчаючи учнів до самостійних пошуків докази, заохочуючи їх роботу в цьому напрямку (навіть якщо знайдене доказ складніше відомого), можна домогтися більш міцних і глибоких знань, сприяти підвищенню математичної культури учнів.