Arabic Bulgarian Chinese Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Finnish French German Greek Hebrew Hindi Hungarian Icelandic Indonesian Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Malagasy Norwegian Persian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swedish Thai Turkish Vietnamese
Arabic Bulgarian Chinese Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Finnish French German Greek Hebrew Hindi Hungarian Icelandic Indonesian Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Malagasy Norwegian Persian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swedish Thai Turkish Vietnamese
definition - РОТОР МАТЕМАТИКА
Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії
Ротор. або вихор - векторний диференційний оператор над векторним полем. Показує, наскільки і в якому напрямку закручено поле в кожній точці. Ротор поля F позначається символом rot F (в російськомовній літературі) або curl F (в англомовній літературі), а також де - векторний диференційний оператор Набла.
математичне визначення
Ротор векторного поля - вектор, проекція якого на кожен напрямок дорівнює межі відносини циркуляції векторного поля по контуру L плоскою майданчика ΔS, перпендикулярній до цього напрямку, до величини цього майданчика, коли розміри майданчика прагнуть до нуля, а сама майданчик стягується в точку:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 2].
Нормаль до майданчика направлена так, щоб при обчисленні циркуляції обхід по контуру L відбувався проти годинникової стрілки.
У тривимірній декартовій системі координат обчислюється таким чином:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 2]
Для зручності запам'ятовування можна умовно представляти ротор як векторний добуток:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 2]
Векторне поле, ротор якого дорівнює нулю в будь-якій точці, називається потенційним (безвихровим).
фізична інтерпретація
По теоремі Коші-Гельмгольца розподіл швидкостей суцільного середовища поблизу точки Про задається рівнянням
де - вектор кутового обертання елемента середовища в точці О, а - квадратична форма від координат - потенціал деформації елемента середовища.
Таким чином, рух суцільного середовища поблизу точки Про складається з поступального руху (вектор), обертального руху (вектор) і потенційного руху - деформації (вектор) .Пріменяя до формули Коші-Гельмгольца операцію ротора, отримаємо, що в точці О справедливо рівність [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 2] і, отже, можна зробити висновок, що коли мова йде про векторному полі, що є полем швидкостей деякої середовища, ротор цього векторного поля в заданій точці дорівнює подвоєному вектору кутового обертання елемента середовища з центром в цій точці.
Наприклад, якщо в якості векторного поля взяти поле швидкостей вітру на Землі, то в північній півкулі для антициклону, що обертається за годинниковою стрілкою. ротор буде спрямований вниз, а для циклону, що обертається проти годинникової стрілки - вгору. У тих місцях, де вітри дмуть прямолінійно і з однаковою швидкістю, ротор буде дорівнює нулю (у неоднорідного прямолінійного течії ротор ненульовий).
Основні властивості
Наступні властивості можуть бути отримані зі звичайних правил диференціювання.
- лінійність:
- Якщо - скалярний поле, а F - векторна, тоді:
- Дивергенція ротора дорівнює нулю:
При цьому вірно і зворотне: якщо поле F бездівергентно, воно є поле вихору деякого поля G (векторний потенціал):
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 2]- Якщо поле F потенційно, його ротор дорівнює нулю (поле F - безвіхревое):
Вірно і зворотне: якщо поле безвіхревое, то воно потенційно:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 2]
для деякого скалярного поля
- Теорема Стокса. циркуляція вектора по замкнутому контуру, що є кордоном деякої поверхні, дорівнює потоку ротора цього вектора через цю поверхню:
Ротор в ортогональних криволінійних координатах
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 2]
Просте векторне поле
Розглянемо векторне поле. лінійно залежне від координат x і y:
.
Очевидно, що поле закручено. Якщо ми помістимо колесо з лопатями в будь-якій області поля, ми побачимо, що воно почне обертатися за годинниковою стрілкою. Використовуючи правило правої руки. можна очікувати вгвинчування поля в сторінку. Для правої системи координат напрямок в сторінку буде означати негативне напрямок по осі z.
Як і припустили, напрямок співпало з негативним напрямом осі z. В даному випадку ротор є константою, так як він незалежний від координати. Кількість обертання в наведеному вище векторному полі один і той же в будь-якій точці (x, y). Графік ротора F не дуже цікавий:
Файл: Curl of uniform curl.JPG
Більш складний приклад
Тепер розглянемо дещо складніше векторне поле:
.
Ми можемо не побачити жодного обертання, але, подивившись уважніше направо, ми бачимо більше поле в, наприклад, точці x = 4, ніж в точці x = 3. Якби ми встановили маленьке колесо з лопатями там, більший потік на правій стороні змусив би колесо обертатися за годинниковою стрілкою, що відповідає вгвинчування в напрямку -z. Якби ми розташували колесо в лівій частині поля, більший потік на його лівій стороні змусив би колесо обертатися проти годинникової стрілки, що відповідає вгвинчування в напрямку + z. Перевіримо нашу здогадку за допомогою обчислення:
Дійсно, вгвинчування відбувається в напрямку + z для негативних x і -z для позитивних x. як і очікувалось. Так як цей ротор не однаковий в кожній точці, його графік виглядає трохи цікавіше:
Файл: Curl of nonuniform curl.JPG
Ротор F з площиною x = 0, виділеної темно-синім кольором
Можна помітити, що графік цього ротора не залежить від y або z (як і повинно бути) і спрямований по -z для позитивних x і в напрямку + z для негативних x.
Три загальних прикладу
Розглянемо приклад ∇ × [v × F]. Використовуючи прямокутну систему координат, можна показати, що
Якщо v і ∇ поміняти місцями:
що є Фейнмановские записом з нижнім індексом ∇F. що означає, що градієнт з індексом F відноситься тільки до F.
Інший приклад ∇ × [∇ × F]. Використовуючи прямокутну систему координат, можна показати, що:
що можна вважати окремим випадком першого прикладу з підстановкою v → ∇.
пояснюють приклади
- У смерчі вітри обертаються навколо центру, і векторне поле швидкостей вітру має ненульовий ротор всюди. (Див. Вихровий рух).
- У векторному полі, що описує лінійні швидкості руху кожної точки обертового диска ротор був би постійним у всіх частинах диска.
- Якби швидкості автомобілів на трасі описувалися векторних полем, і різні смуги мали різні обмеження по швидкості руху, ротор на кордоні між смугами був би ненульовим.
- Закон електромагнітної індукції Фарадея. одне з рівнянь Максвелла. може бути виражений дуже просто через поняття ротора. Він каже, що ротор електричного поля дорівнює швидкості зміни магнітного поля, взятої з протилежним знаком, а ротор напруженості магнітного поля дорівнює сумі густин струму звичайного і струму зміщення.
Примітки
- ↑ Математичний словник вищої школи. В. Т. водних, А. Ф. Наумович, М. Ф. Наумович