Тема 6. Диференціальне числення функцій однієї змінної
Похідна функції однієї змінної
Нехай функція визначена на деякому інтервалі. Аргументу дамо приріст. . тоді функція одержить збільшення. Знайдемо межа цього відношення при Якщо ця межа існує, то його називають похідною функції. Похідна функції має кілька позначень:. Іноді в позначенні похідної використовується індекс. вказує, з якої змінної взята похідна.
Визначення. Похідної функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо ця межа існує):
Визначення. Функція. має похідну в кожній точці інтервалу. називається диференційованою в цьому інтервалі.
Визначення. Операція знаходження похідної функції називається диференціюванням.
Значення похідної функції в точці позначається одним із символів:.
Приклад Знайти похідну функції в довільній точці.
Рішення . Значенням даємо приріст. Знайдемо приріст функції в точці. . Складемо відношення. Перейдемо до межі:. Таким чином, .
Механічний зміст похідної. Так як або. тобто швидкість прямолінійного руху матеріальної точки в момент часу є похідна від шляху за часом. У цьому полягає механічний зміст похідної.
Якщо функція описує будь-який фізичний процес, то похідна є швидкість протікання цього процесу. У цьому полягає фізичний зміст похідної.
Геометричний зміст похідної .Розглянемо графік безперервної кривої. має в точці невертикальною дотичну. Знайдемо її кутовий коефіцієнт. де - кут дотичної з віссю. Для цього проведемо через точку і графіка січну (рисунок 1).
Позначимо через - кут між січною і віссю. На малюнку видно, що кутовий коефіцієнт січної дорівнює
При чинності безперервності функції приріст теж прагне до нуля; тому точка необмежено наближається по кривій до точки. а січна. повертаючись близько точки. переходить в дотичну. Кут. тобто . Отже,. тому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює.
Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої
. Це рівність перепишемо у вигляді:. тобто похідна в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці, абсциса якої дорівнює. У цьому полягає геометричний зміст похідної.
Приклад Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці.
Якщо точка дотику має координати (малюнок 2), кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює:.
Рівняння прямої що проходить через задану точку в заданому напрямку має вигляд:. Тоді рівняння дотичної записується у вигляді:.
Визначення. Пряма, перпендикулярна дотичній в точці дотику, називається нормаллю до кривої.
Кутовий коефіцієнт нормалі дорівнює: (так як нормаль перпендикулярна дотичній). Рівняння нормалі має вигляд:. якщо.
Приклад Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в точці з абсцисою.
Рішення . Знаходимо. Знаходимо похідну. Так як і. то скористаємося рівняннями і.
Підставляючи знайдені значення і отримуємо рівняння дотичній. тобто . Рівняння нормалі: або.
Якщо функція має кінцеву похідну в точці, то вона диференційовна в цій точці. Якщо функція диференційовна в кожній точці інтервалу, то вона диференційовна в цьому інтервалі.
Теорема 6.1 Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона неперервна в ній.
Зворотній теорема невірна. Безперервна функція може не мати похідної.
Приклад Функція неперервна на інтервалі (рисунок 3).
Рішення . Похідна цієї функції дорівнює
У точці - функції не диференційована.
Зауваження. На практиці найчастіше доводиться знаходити похідні від складних функцій. Тому в таблиці формул диференціювання аргумент замінений на проміжний аргумент.
2). зокрема ;
3). зокрема ;
4). зокрема, ;
Зворотні тригонометричні функції. . . :
Продифференцировать функцію це значить знайти її похідну, тобто обчислити межа:. Однак визначення меж в більшості випадків представляє громіздку задачу.
Якщо знати похідні основних елементарних функцій і знати правила диференціювання результатів арифметичних дій над цими функціями, то можна легко знайти похідні будь-яких елементарних функцій, згідно правил визначення похідних, добре відомих зі шкільного курсу.
Нехай функції і - дві диференціюються в деякому інтервалі функції.
Теорема 6.2 Похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій:.
Теорема справедлива для будь-якого кінцевого числа доданків.
Приклад Знайти похідну функції.
Теорема 6.3 Похідна добутку двох функцій дорівнює добутку похідної першого співмножники на другий плюс твір першого співмножники на похідну другого:.
Приклад Знайти похідну функції.
Теорема 6.4 Похідна частки двох функцій. якщо дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника дробу на похідну чисельника і чисельника дробу на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього знаменника:.
Приклад Знайти похідну функції.
Для знаходження похідної складної функції треба похідну даної функції по проміжному аргументу помножити на похідну проміжного аргументу по незалежному аргументу
Це правило залишається в силі, якщо проміжних аргументів кілька. Так, якщо. . . то
Нехай і, тоді - складна функція з проміжним аргументом і незалежним аргументом.
Теорема 6.5 Якщо функція має похідну в точці. а функція має похідну у відповідній точці. то складна функція має похідну в точці. яка знаходиться за формулою.
Приклад Знайти похідну функції
Рішення . Застосуємо правило диференціювання складної функції. Проміжним аргументом є. Тому спочатку слід взяти похідну від статечної функції по і помножити її на похідну від. Так як . то з урахуванням правила диференціювання складної функції отримаємо:. тобто
Похідна оберненої функції дорівнює зворотній величині похідної даної функції:
Нехай і - взаємно зворотні функції.
Теорема 6.6 Якщо функція строго монотонна на інтервалі і має нерівну нулю похідну в довільній точці цього інтервалу, то зворотна їй функція також має похідну у відповідній точці, яка визначається рівністю або.
Приклад Знайти похідну функції.
Рішення . Користуючись правилом диференціювання оберненої функції знайдемо. Зворотна функція має похідну. Отже,.
Визначення. Якщо функція задана рівнянням. дозволеним щодо. то функція задана в явному вигляді (явна функція).
Определеніе.Неявная функція одного аргументу задається рівнянням, що зв'язує дві змінні, причому рівняння не дозволено щодо будь-якої з них: або.
Визначення. Рівняння, що зв'язує три змінні, задає неявну функцію 2 аргументів. . або. або.
Не завжди легко, а іноді і неможливо вирішити рівняння щодо (наприклад, або).
Якщо неявна функція задана рівнянням. то для знаходження похідної від по немає необхідності вирішувати рівняння відносно. Потрібно продифференцировать це рівняння по. розглядаючи при цьому як функцію. і отримане потім рівняння дозволити відносно.
Приклад Знайти похідну функції. задану рівнянням:.
Рішення . Функція задана неявно. Продифференцируем рівняння по. пам'ятаючи, що. . Потім знаходимо:.
Розглянемо диференціювання функції, заданої параметрично.
Нехай функція задана параметрично: де - допоміжна змінна, звана параметром.
Потрібно знайти. Припустимо, що має однозначну зворотну функцію. Продифференцируем рівняння по. як складну функцію, вважаючи проміжним аргументом, що залежать від. ; . Так як . то отримаємо:
Рішення . За формулою (4), отримуємо
Похідну функції однієї змінної в деяких випадках можна знайти значно простіше, якщо функцію попередньо прологаріфміровать, такий метод називається логарифмічна диференціювання.
Логарифмічні диференціювання зазвичай застосовується при знаходженні похідної від статечно-показовою функції і від добутку функцій, тобто в тих випадках, коли звичайними методами похідну можна знайти, або обчислення похідної дуже громіздко. Звичайно, ця операція може застосовуватися і в інших випадках.
Визначення. Функція. у яких підставу і показник ступеня є функції незалежних змінних, називаються статечно-показовими.
Похідні таких функцій обчислюються тільки за допомогою логарифмічного диференціювання.
Приклад Дана функція. Знайти.
Рішення . Прологаріфміровав функцію. отримаємо
Диференціюючи отримане рівняння по. . З останнього рівності знайдемо:
Розглянемо функцію. має в точці відмінну від нуля похідну:. По теоремі про зв'язок функції, її межі та нескінченно малої функції, можна записати. де при. або. Приріст функції являє собою суму двох доданків і. є нескінченно малими при. Зауважимо, що - нескінченно мала функція одного порядку с. так як . а - функція вищого порядку, ніж. .
Визначення. Доданок називається головною частиною приросту функції.
Определеніе.Діфференціалом функції в точці називається головна частина її збільшення, що дорівнює добутку похідної функції на приріст аргументу, і позначається або. Зауважимо, що
Визначення. Диференціал називається диференціалом першого порядку.
Диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної:
Справді, так як і. то.
Определеніе.Діфференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції на диференціал незалежної змінної:
Так як . то - відношення диференціалів і.
Приклад Знайти диференціал функції.
Рішення . За формулою знаходимо:
Приклад Знайти повний приріст функції і її диференціал, порівняти їх значення при.
Рішення . Повний приріст запишемо у вигляді:
. Перетворимо цей вираз:. За визначенням знайдемо повний диференціал:. Підставивши. отримаємо, і.
Геометричний сенс диференціала: Диференціал функції в точці дорівнює збільшенню ординати дотичної до графіка функції в цій точці, коли одержить збільшення.
Пояснимо твердження, для цього розглянемо графік функції (рисунок 4).
Проведемо до графіка функції в точці дотичну. Розглянемо ординату цієї дотичної для точки. зауважимо, що. а. Розглянемо прямокутний трикутник. в котрому . тобто . Так як - геометричний зміст похідної, то. З формул: і отримуємо, що. Можливі три випадки:. і - якщо функція є постійною.
Механічний сенс диференціала: Диференціал шляху дорівнює збільшенню шляху, отриманому в припущенні, що, починаючи з даного моменту часу. точка рухається рівномірно, зберігаючи придбану швидкість.
Розглянемо нерівномірний прямолінійний рух точки, що здійснюється згідно із законом. де - довжина шляху, - час. Збільшень моменту часу відповідні збільшення значення шляху:. Ця формула виражає істинне прирощення шляху за проміжок часу.
Обчислимо диференціал шляху. Так як - швидкість в момент. то.
Оскільки в вираз для диференціала входить похідна, то правила його обчислення використовують правила обчислення похідної:
1) Якщо функція дорівнює постійної. то її диференціал дорівнює нулю, тобто .
2) Диференціал функції дорівнює приросту цієї функції:; (Диференціал незалежної змінної збігається з її приростом).
3) Диференціал суми:.
4) Диференціал твори:.
5) Диференціал приватного:.
Теорема 6.7 Диференціал складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції по проміжному аргументу на диференціал цього проміжного аргументу:
Визначення. і - форма диференціала не змінилася незалежно від того, чи є її аргумент незалежної змінної або є функцією одного аргументу. Така властивість диференціала називається инвариантностью (незмінністю) форми першого диференціала.
Нехай. - деякі безперервні функції аргументу х.