Критерій разложимости функції в ряд Тейлора
Повернемося до рядів. У §2.7 ми встановили, що якщо функцію можна розкласти в сходиться до неї статечної ряд, то він є для цієї функції поряд Тейлора.
Виникає питання, чи справедливо зворотне твердження? Нехай функція нескінченно диференційована на інтервалі. Ми можемо формально побудувати для неї ряд Тейлора. Але поки ми не знаємо, чи буде наша функція сумою цього ряду, тобто чи буде побудований ряд Тейлора сходитися до нашої функції на інтервалі. замість знака рівності поставимо знак відповідності:
З'ясуємо, за яких умов цей знак можна замінити на знак рівності. Напишемо формулу Тейлора для функції:
де - залишковий член, а
- многочлен Тейлора n-го ступеня, який можна розглядати як часткову суму ряду Тейлора. Таким чином,
Остаточний член формули Тейлора для функції можна визначити як різницю між функцією і часткової сумою ряду Тейлора:
При збільшенні номера п число доданків в частковій сумі, тобто в многочлене Тейлора, збільшується, а залишковий член змінюється. Можна розглянути послідовність залишкових членів. Це послідовність функцій, визначених в тій же околиці точки а. в якій має місце нескінченна дифференцируемость функції. Остаточний член показує похибка, яка утворюється при заміні функції часткової сумою ряду Тейлора. Ясно, що для отримання хорошого наближення послідовність залишкових членів повинна прагнути до нуля. Замість поєднання «послідовність залишкових членів» часто говорять просто «залишковий член».
Теорема 1 Про необхідному і достатньому умови збіжності ряду Тейлора до функції.
Для того щоб функцію можна було розкласти в ряд Тейлора
на інтервалі. необхідно і достатньо, щоб мала на цьому інтервалі похідні будь-якого порядку і щоб залишковий член в цій формулі Тейлора (2.9.1), наближався до нуля при всіх. коли n ® ¥.
Теорема 2 Про достатній умови збіжності залишкового члена формули Тейлора до нуля.
Якщо функція в e-околі точки а має похідні будь-якого порядку, обмежені одним і тим же числом то залишковий член її формули Тейлора в цій околиці прагне до нуля при:
Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена
Взяття похідної - це поворот на 90 ° (нріс.2.10.3). Похідні будь-якого порядку обмежені: на. . Тому за теоремою 2. і функція розкладається в збіжний до неї на ряд Маклорена за ступенями x:
Покажемо, що отриманий ряд сходиться на всій числовій осі. За спільною ознакою Д'Аламбера:
сходиться при всіх х.
Ряд (8 *) відрізняється від розкладання гіперболічного синуса (2 *) знакозмінними.
Почленного дифференцированием ряду (8 *) отримуємо розкладання косинуса в ряд Маклорена:
Оскільки ряд (9 *) отримано шляхом диференціювання ряду (8 *), то по теоремі про диференціюванні статечних рядів ряд (9 *) має той же інтервал збіжності, що і ряд (8 *).
Ряд (9 *) відрізняється від розкладання гіперболічного косинуса (3 *) знакозмінними.