а) Будемо перемножать дужки як зазвичай: крайню ліву на наступну, і результатом, відповідно, буде знову крайня ліва дужка. При перемножуванні крайня ліва дужка завжди буде містити суму доданків виду "/>, тому що при множенні, по-перше, вміст крайній лівій дужки дублюється в результуючу (тому що множиться на з наступною дужки), і, по-друге, ступеня друге доданків в дужках зростають з кроком, тому і ступеня в результуючої скобці також будуть відрізнятися на одиницю.
У загальному вигляді чергове множення дужок виглядає так (Зауваження: коефіцієнти при ступенях далі в рішеннях вказуватися не будуть, бо подібні доданки за умовою вже приведені, відповідно, ніякого впливу коефіцієнти на кількість доданків не матимуть):. Перемножая, отримаємо: _>% 2Bx ^ k% 2Bx ^% 2B \ cdots% 2Bx ^) "/>. Очевидно, що після приведення подібних доданків (а воно знадобиться, тому що при:), з огляду на послідовне зростання ступенів з кроком 1, в дужках буде знаходиться доданків. (Одиниця додається, щоб врахувати доданок). Наступне перемноження матиме вигляд) * (1% 2Bx ^) "/>, і в результуючої скобці отримаємо вже доданків і т.д. З огляду на те, що для першої дужки в нашому прикладі і остання ступінь дорівнює, отримуємо кількість доданків: ^ k = 1% 2B \ frac = 500501> "/>
в) За вищенаведеним міркуванням можна легко дізнатися кількість доданків в кожної дужки:% 2Bx ^)> _> * \ underbrace% 2Bx ^)> _> "/>.
Почнемо множити першу дужку послідовно на кожен з доданків другий дужки для виявлення залежності:
1) При множенні першої дужки на, перша дужка продублюйте;
2) При подальшому збільшенні першої дужки на результат прийме вид% 2Bx ^% 2Bx ^% 2Bx ^% 2Bx ^) "/>. Зауважимо, що доданок" /> відсутня, тому що його не можна було отримати множенням вмісту першої дужки на. По суті, ми маємо суму доданків виду "/> за винятком доданка" /> (Всього - 203 доданків).
3) При подальшому збільшенні першої дужки на в результат додадуться нові складові,% 20x ^% 20.0% B8% 20x ^ "/>. Результат - сума доданків виду" /> за винятком доданка "/> (Всього - 205 доданків);
4) При подальшому збільшенні першої дужки на в результат додадуться нові складові,% 20x ^% 20.0% B8% 20x ^ "/>. Результат - сума доданків виду" /> за винятком доданка "/> (Всього - 208 доданків);
Таким чином, нескладно здогадатися, що останній доданок підсумкового результату буде = x ^ "/>, доданка" /> там не буде, бо для цього потрібно "/> помножити на" />, якого в дужках у нас, на жаль, немає, але при цьому знову з'явився б прогалину в послідовності доданків від "/> до" /> у вигляді відсутності "/>. Тому підсумковий результат буде містити рівно 500>" /> доданків.
Якщо помітили якусь помилку - пишіть.
У задачі під літерою в). не врахував, що в підсумковому результаті також відсутня доданок "/>, тому підсумковий результат буде містити 499>" /> доданків.