У даній статті ми розглянемо ще одне дискретне розподіл. яке набуло широкого поширення на практиці. Не встиг я відкрити курс з теорії ймовірностей. як відразу стали надходити запити: «Де Пуассон? Де завдання на формулу Пуассона? »І т.п. І тому я почну з приватного застосування розподілу Пуассона - з огляду на велику затребуваність матеріалу.
Завдання до болю ейфорії знайома:
- проводиться незалежних випробувань. в кожному з яких випадкова подія може з'явитися з імовірністю. Потрібно знайти ймовірність того, що в даній серії випробувань подія з'явиться рівно раз.
У тому випадку, якщо кількість випробувань велике (сотні і тисячі). цю ймовірність зазвичай розраховують приблизно - за допомогою локальної теореми Лапласа. , Де.
Однак і тут є «слабка ланка» - теорема Лапласа починає серйозно барахлити (давати велику похибку), якщо ймовірність менше, ніж 0,1 (і чим менше, тим все гірше). Тому тут використовують інший метод, і саме розподіл Пуассона.
Отже, якщо кількість випробувань досить велике, а ймовірність появи події в окремо взятому випробуванні дуже мала (0,05-0,1 і менше), то ймовірність того, що в даній серії випробувань подія з'явиться рівно раз, можна наближено обчислити за формулою Пуассона :
, де
Нагадую, що нуль факторіал, а значить, формула має сенс і для.
Замість «лямбда» також використовують букву «а».
У новому мікрорайоні поставлено 10000 кодових замків на вхідних дверях будинків. Ймовірність виходу з ладу одного замку протягом місяця дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що за місяць відмовить рівно 1 замок.
Утопічна, звичайно, завдання, але що робити - вирішуємо :)
В даному випадку кількість «випробувань» велике, а ймовірність «успіху» в кожному з них - мала:, тому використовуємо формулу Пуассона:
обчислимо:
- по суті, це середньоочікувана кількість поламаних замків.
Таким чином:
- ймовірність того, що за місяць з ладу вийде рівно один замок (з 10 тисяч).
З технічної точки зору цей результат можна отримати декількома способами, розповім про них в історичному ракурсі:
1) За допомогою спеціальної таблиці, яка до сих пір зустрічається в багатьох книгах по терверу. У цю таблицю зведені різні значення і відповідні їм ймовірності. Табулювання обумовлено тим, що свого часу не існувало побутових калькуляторів, на яких можна було б підрахувати значення експоненційної функції. Звідси, до речі, йде традиція округляти обчислення до 4 знаків після коми - як в стандартній таблиці.
2) За допомогою прямого обчислення на микрокалькуляторе (прогрес!).
3) За допомогою стандартної екселевскій функції:
= ПУАССОН (m; лямбда; 0)
в даній задачі вбиваємо в будь-яку клітинку Ексель = ПУАССОН (1; 2; 0) і тиснемо Enter.
Слід зазначити, що розвиток обчислювальної техніки фактично відправило в історію методи Лапласа. та й розглянутий метод теж - з тієї причини, що відповідь легко обчислити більш точно за формулою Бернуллі:
Тут я використав функцію БІНОМРАСП. про яку неодноразово згадував раніше.
Але формула Пуассона, проте, дає дуже круте наближення:
- з похибкою тільки на 9 знаку після коми!
Втім, це все лірика, вирішувати щось все одно потрібно по формулі Пуассона:
Завод відправив в торговельну мережу 500 виробів. Імовірність ушкодження вироби в дорозі дорівнює 0,003. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено: а) жодного вироби, б) рівно три вироби, в) більше трьох виробів.
Рішення. використовуємо формулу Пуассона:
В даному випадку:
- середньоочікувана кількість пошкоджених виробів
а)
- ймовірність того, що всі вироби дійдуть в цілості й схоронності. Нічого не вкрадуть, одним словом :)
б)
- ймовірність того, що в дорозі будуть пошкоджені рівно 3 вироби з 500.
в)
А тут все трошки хитріше. Спочатку знайдемо - ймовірність того, що в дорозі ушкодяться не більше трьох виробів. По теоремі додавання ймовірностей несумісних подій:
Само собою, ручками це вважати набридне, і тому я додав в свій розрахунковий макет автоматична побудова розподілу Пуассона (див. Пункт 7) - користуйтеся на здоров'я.
Імовірність виготовлення бракованих деталей при їх масовому виробниц-стве дорівнює. Визначити ймовірність того, що в партії з 800 деталей буде: а) рівно 2 браковані, б) не більше двох.
Рішення і відповідь в кінці уроку.
Іноді умова зустрічається в дещо іншій інтерпретації. Так, в запропонованому завданні може йти мова про те, що виробничий брак становить 0,1% або, наприклад, «в середньому 0,8 деталі на кожну тисячу». Зверніть увагу, що в останньому випадку нам дано готове значення «лямбда».
У зв'язку з цим ні в якому разі не відключаємо голову - навіть в таких простих прикладах!
А тепер про сам розподілі Пуассона. Випадкова величина, розподілена за цим законом, приймає нескінченне і рахункова кількість значень, ймовірності появи яких визначаються формулою:
Або, якщо розписати докладно:
В теорії встановлено, що математичне очікування пуассонівської випадкової величини дорівнює і дисперсія - того ж самого значення:.
Зверніть увагу, що у всіх вищенаведених завданнях ми лише користуватися розподілом Пуассона для наближеного розрахунку ймовірностей, в той час як ТОЧНІ значення слід знаходити за формулою Бернуллі. тобто там мало місце біноміальний розподіл.
І такі два завдання принципово відрізняються від попередніх:
Випадкова величина підпорядкована закону Пуассона з математичним очікуванням. Знайти ймовірність того, що дана випадкова величина прийме значення, менше, ніж її математичне очікування.
Відмінність полягає в тому, що тут мова йде САМЕ про розподіл Пуассона.
Рішення. випадкова величина приймає значення з імовірностями:
За умовою,, і тут все просто: подія полягає в трьох несумісних випадки:
ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, менше, ніж її математичне очікування.
Аналогічне завдання на розуміння:
Випадкова величина підпорядкована закону Пуассона з математичним очікуванням. Знайти ймовірність того, що дана випадкова величина прийме позитивне значення.
Рішення і відповідь в кінці уроку.
Крім прібліженіябіноміального розподілу (Приклади 1-3), розподіл Пуассона знайшло широке застосування в теорії масового обслуговування для ймовірнісної характеристики найпростішого потоку подій. Постараюся бути лаконічною:
Отже, нехай в деяку систему надходить найпростіший потік заявок з середньою інтенсивністю заявок в хвилину (в годину, в день або в довільний проміжок часу). Тоді ймовірність того, що за даний проміжок часу. в систему надійде рівно заявок, дорівнює:
Дзвінки в диспетчерську таксі є простим пуассоновский потік із середньою інтенсивністю 30 викликів на годину. Знайти ймовірність того, що: а) за 1 хв. надійде 2-3 виклику, б) протягом п'яти хвилин буде хоча б один дзвінок.
Рішення. використовуємо формулу Пуассона:
а) З огляду на стаціонарність потоку, обчислимо середню кількість викликів за 1 хвилину:
виклику - в середньому за одну хвилину.
По теоремі додавання ймовірностей несумісних подій:
- ймовірність того, що за 1 хвилину в диспетчерську надійде 2-3 виклику.
б) Обчислимо середню кількість виклик за п'ять хвилин:
За формулою Пуассона:
- ймовірність того, що протягом 5 хвилин не буде жодного дзвінка.
По теоремі додавання ймовірностей протилежних подій:
- ймовірність того, що протягом 5 хвилин буде хоча б один виклик.
Зауважте, що, незважаючи на кінцеве кількість можливих дзвінків (а воно в принципі звичайно), тут має місце саме розподіл Пуассона, а не якесь інше.
Для самостійного рішення:
Середнє число автомобілів, що проходять митний огляд протягом години, дорівнює 3. Знайти ймовірність того, що: а) за 2 години пройдуть огляд від 7 до 10 автомобілів; б) за пів години встигне пройти огляд тільки 1 автомобіль.
Рішення і відповідь в кінці уроку.
Напевно, багато хто знає, що теорія масового обслуговування - це великий і дуже цікавий розділ прикладної математики, і зараз ми познайомилися з найпростішої його завданням.
Додаткові приклади на розподіл і формулу Пуассона можна знайти в тематичній pdf-книзі. і я пропоную вам ознайомитися з ще однієї популярної річчю - Гіпергеометричний розподіл ймовірностей.
Приємного і корисного читання!
Рішення і відповіді:
Приклад 3. Рішення: використовуємо формулу Пуассона:
, в даному випадку:
а) - ймовірність того, що в даній партії виявиться рівно 2 браковані деталі.
б) По теоремі додавання ймовірностей несумісних подій:
- ймовірність того, що в даній партії виявиться не більше 2 бракованих виробів.
Приклад 5. Рішення. випадкова величина приймає значення з імовірностями. За умовою, .
Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина прийме нульове значення:
По теоремі додавання ймовірностей протилежних подій:
- ймовірність того, що випадкова величина прийме позитивне значення
Приклад 7. Рішення. припускаючи потік простим, використовуємо формулу Пуассона:
а) Обчислимо - середня кількість автомобілів, що проходять митний огляд, протягом 2 годин.
По теоремі додавання ймовірностей несумісних подій:
- ймовірність того, що за 2 години огляд пройдуть від 7 до 10 автомобілів
б) Обчислимо - середня кількість автомобілів, що проходять огляд, за 1/2 години.
За формулою Пуассона:
- ймовірність того, що за пів години митний огляд пройде тільки один автомобіль.
(Перехід на головну сторінку)
Якісні роботи без плагіату - Zaochnik.com