Невірно.
Правильно буде так:
Щас у деяких буде вибух мозку - попереджаю.
Cо другим диференціалом теж не все так просто.
-- не просто так тут.
Диференціюючи попереднє:
Так ось в даному випадку дорівнює нулю (на відміну від).
Нулю дорівнює тут тому, що - тут незалежна змінна; диференціал незалежної змінної є константа, а диференціал константи дорівнює нулю.
Але, якщо залежить, скажімо, від, то вже буде зовсім інакше:
, так як тепер залежна змінна і диференціал її вже не константа і другий диференціал нулю НЕ дорівнює.
Кажуть, що вид першого диференціала не залежить від того, незалежні або залежні змінні, а вид вищих диференціалів від того залежить (в байдуже, залежить чи ні від якого-небудь).
Все вище перераховане - лише переказ підручника по матаналізу.
Лише, той підручник. хмм. вже злегка застарий в 21-м столітті буде.
Поняття диференціала потребує понятті величини.
Якщо ми функцією називаємо відображення, а не залежну величину (як математики називали функцію ще порівняно недавно), то і диференціал - це відображення (а, якщо на давньо-математичній мові, то диференціал функції - це функція диференціала незалежної змінної).
У 21-му столітті найпростіше вважати (як, загалом-то, і прийнято робити), що - це лінійний функціонал на дотичному просторі.
Проблеми виникають, коли ми інтуїтивно позначаємо через не саме цей функціонал, а його значення (число) на дотичному векторі, а той вектор НЕ фіксуємо.
Тоді ми цим неявно повертаємося до старих-добрих змінним вільним і залежним, і тоді потрібно мати на увазі вищесказане винос мозку.
А є диференціал у фізиці, а не диференціал в математиці.
Це, ну, зовсім інша річ - нічого спільного не простежується.
Знову ж таки, в хороших підручниках із загальної фізики про це все говориться.
У моєму рейтингу підручників з даної теми лідирує Сивухин - дуже ясний виклад у нього саме подібних речей.
Фізики диференціалом називають фізично нескінченно малий приріст.
Говорити, що фізики кінцеве прирощення диференціалом називають неправильно: саме фізично нескінченно мале.
Фізики диференціалом називають фізично нескінченно мале пріращеніе.Говоріть, що фізики кінцеве прирощення диференціалом називають неправильно: саме фізично нескінченно мале.
Говорити, що фізики називають чимось "фізично нескінченно мале" прирощення, неправильно: у фізиці не буває нескінченно малого, оскільки це не математика. Фізики говорять про нехтує малих величинах, а нескінченно малі - тільки в рамках математичних моделей.
Але тоді поняття "диференціал" і "похідна" просто дублюють один одного, а навіщо - незрозуміло.
Історично склалось. Насправді, "диференціал" - не тотожне те ж саме, що "похідна", а тільки одна з похідних, тобто більш вузьке поняття. Видів похідних кілька, і тільки один з них ототожнюється з диференціалом. Решта всього лише обчислюються через диференціали.
Re: Що таке диференціал?
Фізики говорять про нехтує малих величинах, а нескінченно малі -
-- це рівно те ж саме, тільки іншими словами. Що в лоб, що по лобі. Якщо "нехтує трохи" використовується для обгрунтування переходу до похідних, але тоді правильніше говорити просто про "малих величинах". Оскільки "нехтує" в основному зарезервована за невраховуваних (в силу малості) ефектами, і до диференціювання це відношення не має.
Видів похідних кілька, і тільки один з них ототожнюється з диференціалом. Решта всього лише обчислюються через диференціали.
Re: Що таке диференціал?
У 21-му столітті найпростіше вважати (як, загалом-то, і прийнято робити), що - це лінійний функціонал на дотичному просторі.
Ну тоді вже функціонал, а оператор.
Я говорив тільки про, тобто - про диференціал координати.
Диференціал функції (диференціал відображення) - це вже буде лінійне відображення дотичних просторів - оператор, якщо хочете.
Проблема в тому, що і - різні речі, на що вже було зазначено, але не сказано: - сам через себе ж не визначення.
Але тоді поняття "диференціал" і "похідна" просто дублюють один одного, а навіщо - незрозуміло.
Диференціал через похідну визначений, а похідна визначена через межу - вони таким чином різні речі.
Але навіщо одне, якщо є інше, ось це вже питання.
так; опустимося в глиб століть ще на дві сотні років.
Диференціал придумав Лейбніц.
Причому, придумав він нескінченно малу константу, а не нескінченно малу змінну, як я тільки що цитував зі старого підручника.
Тоді похідна по Лейбніца - це відношення нескінченно малих констант, і визначається через диференціали, а не навпаки.
Взяв Лейбніц свій диференціал безпосередньо з фізики - там вже фізично нескінченно малі (три останніх слова розривати не можна) в загальному і цілому вже були присутні на той момент.
Але на жаль, інтуїтивно ясно розуміється поняття межі в такій системі понять (з нескінченно малими константами) сформулювати не вдалося - не було в Матаналіз визначення меж до 19-го століття.
Коші просто-напросто відкинув визначення нескінченно малої константи (але залишив нескінченно малі змінні) і сформулював визначення меж.
Відразу всім математикам тоді зробилося щастя і похідну стали визначати через межу, а диференціал - через похідну.
Хочу підкреслити, що фізики чхали на все це і, як користувалися своїми фізично нескінченно малими (константами), так і користуються до цього дня.
Вони інакше ніяк не можуть і ніколи інакше не буде: фізвелічіни існують незалежно від їх бажання, а всі прилади патологічно класичності.
Питання потрібний або не потрібний по-моєму завжди однаково вирішується методом Чингачгука з того анекдоту: не хочеш - не їж.
Потрібен - використовуй; не потрібен - не використовуй; аби не вводити в оману читача.
І це говорить людина, що молиться на букву визначення. Ні, нічого подібного. Це зовсім інше.
Якщо "нехтує трохи" використовується для обгрунтування переходу до похідних
Ні, не для цього.
Залежно від того, про яку похідною говорять. Нагадаю, що буває повна похідна (градієнт), приватна похідна, похідна за напрямком.
Якщо ж мова про похідну в будь-якому узагальненому сенсі, то вона з диференціалами безпосередньо формально не пов'язана.
У Математичної енциклопедії зустрічаються прямі формулювання визначень "похідна, або диференціал".
Взяв Лейбніц свій диференціал безпосередньо з фізики - там вже фізично нескінченно малі (три останніх слова розривати не можна) в загальному і цілому вже були присутні на той момент.
За часів Лейбніца термінологія взагалі, і в фізиці зокрема, була несучасної. Досить сказати, що Ньютон використовував слово "маса" в сенсі сучасного "тіло". Так що неважливо, як це називалося за часів Лейбніца, сьогодні це називається нехтує малими величинами.