Як були обчислені значення синуса, косинуса і тангенса 30 градусів?
Далі наведено покроковий пояснення логіки розрахунку даних значень для кута тридцять градусів. Для цього проводиться побудова довільного прямокутного трикутника з відповідними кутами і обчислюється значення синуса, косинуса і тангенса 30 градусів.
Значення тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса при α = 30 °
Розглянемо рівносторонній трикутник АВС. Нехай, кожна з його сторін буде дорівнює a. Згідно властивостями рівностороннього трикутника, всі його кути рівні, в тому числі кут ∠В = 60 °.
Значення синуса, косинуса і тангенса ми можемо вирахувати, якщо знайдемо співвідношення відповідних сторін для кута 30 градусів в прямокутному трикутнику. Так як значення цих тригонометричних функцій залежить виключно від градусної міри кута, то обчислені нами співвідношення і будуть значеннями синуса 30, косинуса 30 і тангенса 30 градусів.
Спочатку зробимо додаткові побудови. З вершини А на сторону BC проведемо медіану AO.
Медіана АТ в рівносторонньому трикутнику одночасно є бісектрисою і висотою.
Тоді трикутник АОВ - прямокутний з кутом ∠ВАО = 30 °. (Кут В дорівнює 60 градусам, ∠ВOA прямий і дорівнює 90 градусам, отже, ∠ВАО = 180 - 90 - 60 = 30 градусів)
Значення трігонометрічніх функцій синуса, косинуса, тангенса при α = 30 °
Розглянемо рiвнобiчній трикутник АВС. Хай, шкірні з его сторон буде рівна а. Согласно з властівостямі рівностороннього трикутника, всі его куті Рівні, у тому чіслі кут ∠В = 60 °.
Значення синуса, косинуса и тангенса Ми можемо обчісліті, если Знайдемо співвідношення відповідніх сторон для кута 30 градусів в прямокутній трикутнику. Оскількі значення ціх трігонометрічніх функцій Залежить Виключно від градусної Міри кута, то обчіслені нами співвідношення и будуть значення синуса 30, косинуса 30 и тангенса 30 градусів.
Спочатку зробимо додаткові побудова. З вершини А на сторону BC Проведемо медіану АO.
Медіана АТ у рівносторонньому трикутнику одночасно є бісектрісою и висота.
Тоді тікутнік АОВ - прямокутний з кутом ∠ВАО = 30 °. (Кут В дорівнює 60 градусам ∠ВOA прямій и дорівнює 90 градусам, отже ∠ВАО = 180 - 90 - 60 = 30 градусів)
Для отриманого прямокутного трикутника обчислимо значення тригонометричних функцій його кутів. Зробимо це спочатку для кута 30 градусів.
Величина гіпотенузи нам відома і дорівнює a. Катет OB дорівнює a / 2. так як AO - медіана трикутника ABC. Знайдемо катет AO.
По теоремі Піфагора:
підставимо в отриманий вираз значення гіпотенузи (ми взяли, що воно дорівнює а)
Тепер ми вирахували всі сторони прямокутного трикутника ABO. З огляду на, що AB = a, OB = a / 2, AO = a√3 / 2, з співвідношень сторін прямокутного трикутника розрахуємо отримані значення. Згідно з визначенням синуса, косинуса і тангенса:
sin 30 = OB / AB (за визначенням синуса - відношення протилежного катета до гіпотенузи)
cos 30 = AO / AB (за визначенням косинуса - відношення прилеглого катета до гіпотенузи)
tg 30 = OB / AO (за визначенням тангенса - відношення протилежного катета до прилеглого)
Так як трикутник ABC - рівносторонній, то BO одно AB / 2, а значення AO обчислено вище. В результаті отримуємо табличні значення sin 30, cos 30 і tg 30 градусів
Для Отримання прямокутна трикутника обчіслімо значення трігонометрічніх функцій его кутів. Зробимо це спочатку для кута 30 градусів.
Величина гіпотенузі нам відома и рівна а. Катет OB Рівний a / 2, оскількі АO - медіана трикутника ABC. Знайдемо катет АТ.
За теоремі Піфагора:
пiдставімо в те, що бере рiвняння значення гiпотенузі (намi Прийнято, что воно одно а)
Тепер ми обчислено всі Сторони прямокутна трикутника ABO. ВРАХОВУЮЧИ, что AB = a, OB = a / 2, AO = a√3 / 2, iз спiввiдношень сторiн прямокутна трикутника розрахуємо одержанi значення. Згiдно визначення сiнуса, косiнуса та тангенса:
sin 30 = OB / AB (за визначенням синуса - відношення катета, что протілежіть, до гіпотенузі)
cos 30 = AO / AB (за визначенням косинуса - відношення прилягла катета до гіпотенузі)
tg 30 = OB / AO (за визначенням тангенса - відношення катета, что протілежіть, до прилягла)
ВРАХОВУЮЧИ, что трикутник ABC - рiвнобiчній, то BO одно AB / 2, а значення AO розраховано вищє. В результатi одержуємо таблічнi значення sin 30, cos 30 і tg 30 градусiв
Табличні значення sin 30, cos 30 і tg 30 градусів:
Тобто:
Тангенс 30 градусів дорівнює кореню з трьох на три
Синус 30 градусів дорівнює одній другій або 0,5
Косинус 30 градусів дорівнює кореню з трьох на два
Синус, косинус і тангенс кута пі на 6 (π / 6)
Виходячи з написаного вище принципу перекладу радіан в градуси, кут пі на 6 дорівнюватиме
180/6 = 30 градусів.
- Тангенс пі на 6 (π / 6) дорівнює кореню з трьох на три
- Синус пі на 6 (π / 6) дорівнює одній другій (1/2) або 0,5
- Косинус пі на 6 (π / 6) дорівнює кореню з трьох на два
Для більш зручного візуального сприйняття ці значення наведені нижче на малюнку
Синус, косинус и тангенс кута пі на 6 (π / 6)
Віходячі з написаного вищє принципом переведення радіан в градуси, кут пі на 6 дорівнюватіме
180/6 = 30 градусів.
- Тангенс пі на 6 (π / 6) дорівнює кореню з трьох на три
- Синус пі на 6 (π / 6) дорівнює однієї Другої (1/2) або 0,5
- Косинус пі на 6 (π / 6) дорівнює кореню з трьох на два