Тема 5. СКЛАДНІ ВІДСОТКИ
1. Складна облікова ставка.
2. Безперервне нарощування і дисконтування.
Розглянемо ситуацію попереднього нарахування складно-го відсотка, тобто коли складний відсоток (наприклад, за кредит або за продаж деякого фінансового документа до терміну його погашення) нараховується в момент укладення фінансової угоди. У цьому випадку здійснюється операція дисконти-вання (обліку) і застосовується складна облікова ставка (compounddiscount rate).
Припустимо, що деякий боргове зобов'язання на суму і терміном погашення через років продається (враховуючи-ється) раніше терміну з дисконтом по складній річної облікової ставки. Якщо здійснити продаж за рік до терміну, то Нара- ляють відсотки і продавець отримає суму. Якщо здійснити продаж за два роки до терміну погашення, то за один рік відсотки нараховуються на, а за другий рік - уже на суму, дисконтированную на попередньому кроці, тобто продавець отримає суму і т.д. Якщо боргове зобов'язання продається за років до терміну, то продавець отримає суму
де множник називається дисконтним множником.
Таким чином, являє собою поточну (современ-ву) вартість майбутнього платежу. Дисконт дорівнює вели-чині:
За формулою (5.1) (як випливає з пояснень цієї формули) сума враховується зі складних відсотків "зі 100".
Боргове зобов'язання на виплату 20 тис. Тенге з терміном погашення через 4 роки враховано за 2 роки до терміну з дисконтом по складній обліковій ставці 8%. Знайти величину дисконту.
Оскільки тис. Тенге, то
Якщо термін, за який здійснюється дисконтування, не є цілим числом років, то можливі наступні методи визначення вартості врахованого за років капіталу:
- використання складної облікової ставки (застосовується формула (5.1)):
- використання змішаної схеми (застосовується складна облікова ставка для цілого числа років і проста облікова ставка - для дробової частини року):
де - ціле число років;
- дрібна частина року,
Звичайно, при формули (5.3) і (5.4) збігаються між-ду собою і з формулою (5.1).
В умовах попереднього прикладу боргове зобов'язання враховано за 27 місяців до терміну. Знайти величину дисконту.
позначимо; ; ; . За формулою (5.3) отримаємо:
Використовуючи формулу (5.4), отримаємо
Порівняємо між собою дисконтування за простою і складною облікових ставок. Для цього достатньо порівняти множники дисконтування і, які, очевидно, при збігаються і дорівнюють. Можна довести, що при, що задовольняють нерівності, справедливі нерівності:
Таким чином, для особи, яка здійснює попереднє (антисипативному) нарахування відсотків, а отже, і дисконтування:
- вигіднішим є дисконтування по складній обліковій ставці, якщо термін обліку менше одного року;
- вигіднішим є дисконтування за простою обліковою ставкою, якщо термін обліку перевищує один рік;
-дисконтування в обох випадках дає один і той же результат, якщо термін обліку дорівнює одному року.
Корисно уявляти собі, що з практичної точки зору умова насправді не є таким вже сильним обмеженням. Так як для облікової ставки справедливо, то при умова автоматично виконується. А якщо, то нерівність б) формально справедливо і при, оскільки тоді, але завжди. Однак на практиці, при дисконтуванні за простими відсоткам випадок призводить до абсурду.
Визначити дисконтовану суму при обліку 1 млн. Тенге за простою і складною облікових ставок, якщо річна облікова ставка дорівнює 14% і облік відбувається за 30 днів, 90 днів, 180 днів, 1 рік, 5 років, 7 років. Думати рік рівним 360 дням.
Отримаємо наступні результати розрахунків:
Зауважимо, що дисконтування за простою обліковою ставкою за термін більше, ніж 7,15 року призводить до неприпустимих на практиці величинам (будемо отримувати негативні значення дисконтованих сум). Однак облік по складній обліковій ставці завжди дає позитивні дисконтовані величини. Наприклад, при обліку за 10 років отримаємо: млн. Тенге.
Нехай дисконтування відбувається раз на рік і задана складна річна облікова ставка (аналогічним чином, як і раніше для відсоткової ставки, за допомогою верхнього індексу вказуємо, скільки разів протягом року відбувається дисконтування). Річна облікова ставка називається номінальною (nominal discount rate), якщо на початку кожного періоду тривалістю здійснюється дисконтування за ставкою.
У цих позначеннях формула (5.1) для визначення вар-мости капіталу, врахованого за років при - кратному дисконти-ровании протягом року, набуде вигляду
Оскільки, то з ростом числа дисконтування в році величина врахованого капіталу зростає.
Боргове зобов'язання на виплату 3 тис. Тенге з терміном по-гасіння через 5 років враховано за два роки до терміну. Визначити отриману суму, якщо проводилося: а) піврічне; б) по-квартальне дисконтування за номінальною облікової ставки 12%.
В даному випадку , ;
а) так як,, то за формулою (5.5):
б) так як,, то за формулою (5.5):
Нехай в (5.5) не є цілим числом. Це можливо тоді, коли антисипативному нарахування відсотків (або дисконтування) здійснюється по внутрішньорічні періодах, але загальний період пошукові роботи не дорівнює цілому числу подпериодов. В цьому випадку можна використовувати або формулу:
Звичайно, (5.6), по суті, є інший записом (5.5).
Визначити сучасне значення суми в 4 тис. Тенге, якщо вона буде виплачена через 2 роки і 3 місяці і дисконтування вироблялося по півріччях за номінальною річної облікової ставки 10%.
Вважаємо року,. Тоді,; ,.
Якщо використовувати формулу (5.6), то
тис. тенге, що дорівнює 793 тенге 88 тіин.
А якщо використовувати формулу (5.7), то
тис. тенге, що дорівнює 794 тенге 14 тіин
З рівності (5.5) визначається період, якщо відомі значення всіх інших параметрів:
Звідси при, отримаємо формулу
яку, звичайно, можна вивести і з (5.1).
За боргове зобов'язання в 300 тис. Тенге банком було ви-плачу 200 тис. Тенге. За якийсь час до терміну погашення було враховано це зобов'язання, якщо банком використовувалася річна складна облікова ставка 8%?
Вважаючи,,, за формулою (5.9) по-лучім:
З рівності (5.5) можна знайти величину номінальної облікової ставки (якщо відомі значення інших параметрів)
а при, ця формула набуде вигляду
Вексель був врахований за півтора року до терміну, при цьому владе-ник векселя отримав 0,8 від написаної на векселі суми. З якої складної річної облікової ставки був врахований цей вексель?
Оскільки ", то, тобто .
Як і в разі процентної ставки, можна визначити еф-ність річну облікову ставку, що забезпечує перехід від до при заданих значеннях цих параметрів і одноразовому дисконтировании. Оскільки згідно визначенні-ня в рамках одного року
то після простих перетворень отримаємо
З (5.10) випливає, що зменшується з ростом (так як другий доданок в правій частині рівності збільшується). По-загально можна показати, що при справедливо нерівність, яке, природно, можна пояснити і з фінансових міркувань.
Розрахувати ефективну річну облікову ставку при раз-особистої сумарної частоти дисконту і номінальною облікової ставки, яка дорівнює 10%.
Використовуючи формулу (5.10), для деяких значень ре-зультати запишемо в табличному вигляді:
З формули (5.10) можна знайти співвідношення для визначенні-ня номінальної облікової ставки, якщо відомі і число дисконтування в рік:
Визначити номінальну ставку, якщо ефективна облікова ставка дорівнює 9% і дисконтування по складній обліковій ставці здійснюється щомісяця.
В даному випадку і, тому по (5.11):
Використовуючи ефективну облікову ставку, можна визначити еквівалентні номінальні облікові ставки і як ставки, що задовольняють равенствам:
Слід зазначити, що ефективну річну облікову ставку можна знайти, не знаючи номінальної облікової ставки, а знаючи величину і її дисконтовану (будь-яким чином) за час суму. Оскільки згідно можна записати, то
Боргове зобов'язання, що дорівнює 5 тис. Тенге з терміном погашення через 4 роки було відразу ж враховано в банку і власник зобов'язання отримав 4,2 тис. Тенге. Знайти ефективну облікову ставку в цій угоді.
Складна облікова ставка застосовується не тільки для здійснення процесу дисконтування. Дозволимо рівність (5.1) щодо:
Рівність (5.13) називається формулою нарощення складними відсотками по обліковій ставці; множник - множником нарощення при нарахуванні складних антисипативному відсотків; - коефіцієнтом нарощення або складним антисипативному коефіцієнтом. Природно, множник нарощення дорівнює індексу зростання капіталу за років.
Формула (5.13) являє собою формулу нарощення складними відсотками «під 100». дійсно
тобто є сумою початкового капіталу і відсотків «під 100» по відношенню до. оскільки
то є сумою капіталу (нарощеного за рік з капіталу) і відсотків «під 100» по відношенню до і т.д.
Очевидно, що приріст капіталу
не пропорційно ні терміну, ні ставкою.
Зауважимо, що, що визначаються за формулою (5.13), утворюють геометричну прогресію зі знаменником.
Так як при справедливо нерівність (якщо, звичайно,, а для облікової ставки це завжди виконано), то нарощення по дисконтній ставці (5.13) відбувається швидше (що вигідно для кредитора), ніж нарощення по процентній ставці (3.1) (що вигідно для позичальника ).
Покажемо, як за допомогою декурсівних і антисипативного способів нарахування відсотків можна пояснити, чому нарощення відсотками «під 100» (використовуючи облікову ставку) доставляє істотно більший результат, ніж нарощення відсотками «зі 100» (використовуючи процентну ставку).
Нехай на вихідний інвестується капітал нараховуються відсотки за ставкою. При декурсівних способі в кінці року інвестор отримає суму і відсотки "з 100", тобто . При антисипативному способі відсотки нараховуються на початку року, і нехай вони відразу видаються інве-стор, який тут же їх інвестує. На величину на-раховуються відсотки і відразу видаються інвестору, кото-рий негайно їх інвестує, і т.д. Припустимо (звичайно, тільки теоретично), що ці дії повторюються неограні-ного число раз, тоді інвестор отримає величину:
що представляє собою суму членів геометричної прогрес-сі з необмеженим числом членів і знаменником. Таким чином,, а це і є нарощення відсотками "у 100".
Якщо нарощення складними відсотками по обліковій ставці відбувається раз на рік, то формулу для визначення нарощений-ної суми отримаємо з рівності (5.5), дозволяючи його відноси-кові:
причому з ростом частоти нарахування складних відсотків накопичена сума зменшується.
За умовами фінансового контракту на депозит в 400 тис. Тенге, покладений в банк на 3 роки, нараховуються відсотки за складною обліковою ставкою 9% річних. Визначити нарощену суму, якщо нарахування відсотків здійснюється: а) щорічно; б) по півріччях; в) щомісяця.
а) за формулою (5.13):
б) оскільки, то використовуємо (5.15):
в) вважаючи за (5.15) отримаємо:
Корисно помітити, що у випадках б) і в) можна було, естест-венно, скористатися формулою (5.13), вважаючи число перио-дов рівним відповідно 6 і 36, а облікові ставки - 4,5% (9%. 2) і 0,75% (9%. 12). Якби нарощення складними про- центами здійснювалося за допомогою процентної ставки, то для варіантів а), б), в) отримали б за формулами (3.1), (3.12) відпо-відно значення: 518 012 тенге, 520 904 тенге, 523 458 тенге, тобто зі збільшенням числа нарахувань відсотків за рік величина нарощеної суми зростає. На противагу цьому зі збільшенням числа нарахувань відсотків за рік по складній обліковій ставці величина нарощеної суми убуває. Видно, що чим більше число нарощення протягом року, тим менше різниця між підсумковими сумами, отриманими декурсівних і антисипативному способами нарахування відсотків. Це і зрозуміло, оскільки чим менше період нарахування, тим менше відмінність між поняттями "попередній" і "наступний". Так, якщо (кожен день йде нарахування складних відсотків), то застосування облікової ставки дає 524 003 тенге, а такої ж величини процентної ставки - 523 968 тенге, і різниця між цими сумами дорівнює всього 35 тенге
У деяких ситуаціях за умовами контракту передбачаються-ються плаваючі облікові ставки. Нехай на періоди встановлені облікові ставки відповідно. Тоді при нарощенні складними відсотками підсумкова сума за час (вимірюючи все періоди в одних одиницях часу) визначається за формулою
Позначимо, тоді (5.16) набуде вигляду. Таким чином, на весь час можна встановити замість плаваючих облікових ставок облікову ставку, яка забезпечує такий же результат, і при визначенні можна використовувати формулу (5.13).
Якщо, тобто на весь період угоди ус-тановлена постійна ставка, то з (5.16) отримуємо (5.13).
Очевидно, формулою (5.16) можна користуватися і в разі, коли періоди виражені в різних одиницях часу за умови узгодження їх розмірностей з размерностями соот-відних облікових ставок.
Внесок у розмірі 1000 тенге покладено в банк строком на 7 років, причому передбачений наступний порядок нарахування складних відсотків за плаваючою облікової ставки: в перші два роки - 8%, в наступні чотири роки - 12%, а в рік, що залишився - 15%. Знайти нарощену суму.
Вважаємо (таким чином, і скористаємося форму-лій (5.16):
Такий же величини нарощена сума виходить і при ис-користуванні протягом 7 років складної облікової ставки