Елементарні перетворення матриць
1. множення рядка або стовпця матриці на нульове число;
2. перестановка місцями двох рядків або стовпців матриці;
3. додаток до деякої рядку матриці інший її рядки, попередньо помноженої на довільний коефіцієнт;
4. додаток до деякого колонки матриці іншого її стовпці, попередньо помноженого на довільний коефіцієнт.
Рангом матриці А називається найвищий порядок мінору матриці А. відмінного від нуля.
1) Множення рядка (стовпця на числ, відмінне від нуля.
2) Додаток до одного рядка (колонки) інший, множення на будь-яке число.
3) Зміна місцями двох рядків (стовпців)
4) викреслювання нульовий рядки
Базисні рядки і стовпці
Стовпці і рядки, на яких розташовані елементи базисного мінору
14.Сістема m лінійних рівнянь з n невідомими (чи, лінійна система) в лінійної алгебри - це система рівнянь виду
Теорема Кронекера - Капелі Теорема Кронекера - Капеллі -Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих, і безліч рішень, якщо ранг менше числа невідомих.
При невеликій розмірності системи m (m = 2, ..., 5) на практиці часто використовують формули Крамера для розв'язання СЛАР:
(I = 1, 2, ..., m). Ці формули дозволяють знаходити невідомі у вигляді дробів, знаменником яких є визначник матриці системи, а чисельником - визначники матриць Ai. отриманих з A заміною стовпця коефіцієнтів при обчислюваному невідомому стовпцем вільних членів. Так А1 виходить з матриці А заміною першого стовпчика на стовпець правих частин f.
Метод Гаусса - класичний метод розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до еквівалентної системі ступеневої (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться всі інші змінні.
Вирішити систему рівнянь методом Гаусса:
Рішення. Випишемо розширену матрицю цієї системи
і проведемо наступні елементарні перетворення над її рядками:
а) з її другої і третьої рядків віднімемо першу, помножену відповідно на 3 і 2:
б) третій рядок помножимо на (-5) і додамо до неї другу:
В результаті всіх цих перетворень дана система приводиться до трикутного вигляду:
З останнього рівняння знаходимо z = -1,3. Підставляючи це значення в друге рівняння, маємо y = -1,2. Далі з першого рівняння отримаємо
x = - 0,7.
16. Метод оберненої матриці рішення систем алгебраїчних рівнянь Якщо det A ≠ 0, то існує обернена матриця. Тоді рішення СЛАР записується у вигляді:. Отже, рішення СЛАР звелося до множення відомої зворотної матриці на вектор правих частин. Таким чином, завдання вирішення СЛАР і завдання знаходження оберненої матриці пов'язані між собою, тому часто рішення СЛАР називають завданням звернення матриці. Проблеми використання цього методу ті ж, що і при використанні методу Крамера: знаходження оберненої матриці - трудомістка операція.