§ 1.2. Інтегральні і диференціальні співвідношення між основними величинами, котрі характеризують поле. Електромагнітні поля можуть бути описані інтегральними або диференціальними співвідношеннями. Інтегральні співвідношення відносяться до обсягу (довжині, площі) ділянки поля кінцевих розмірів, а диференціальні - до ділянки поля фізично нескінченно малих розмірів. Вони виражаються операціями градієнта, дивергенції, ротора (розкриття операції grad, div і rot в різних системах координат см. В III частині курсу). У макроскопічної теорії поля описують властивості поля, усереднені по нескінченно малому фізичному обсязі і в часі. Цей обсяг на відміну від математично нескінченно малого обсягу може містити велику кількість атомів речовини. Диференціальні рівняння макроскопічної теорії поля не описують поля всередині атомів, для чого, як відомо, служать рівняння квантової теорії поля.
В електростатичному полі потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню (рис. 1.1) дорівнює вільному заряду, що знаходиться всередині цієї поверхні, поділеній на (теорема Гауса):
де - елемент поверхні, спрямований в бік зовнішньої нормалі до обсягу; - відносна діелектрична проникність діелектрика.
У диференціальної формі теорема Гаусса записується так:
(- об'ємна щільність вільного заряду, Кл / м 3).
Перехід від (1.1) до (1.2) здійснюють діленням обох частин (1.1) на обсяг V. знаходиться всередині поверхні S. і прагненні обсягу V до нуля.
Фізично означає витік вектора в даній точці.
В електростатичному полі і в стаціонарному електричному полі на заряд q діє сила. Звідси випливає, що може бути визначена як силова характеристика поля. Якщо q під дією сил поля переміститься з точки 1 в точку 2 (рис. 1.2), то сили поля здійснять роботу, де - елемент шляху з 1 в 2.
Під різницею потенціалів U12 між точками 1 і 2 розуміють роботу, що здійснюються силами поля при перенесенні заряду q = 1 Кл з точки 1 в точку 2,
U12 не залежить від того, яким шляхом відбувалося переміщення з точки 1 в точку 2. вираженні (1.3) відповідає диференціальне співвідношення
градієнт # 966; (grad # 966;) в деякій точці поля визначає швидкість зміни # 966; в цій точці, взяту в напрямку найбільшого його зростання. Знак мінус означає, що і grad # 966; спрямовані протилежно.
Електричне поле називають потенційним, якщо для нього. Електричне поле поляризованого діелектрика описується вектором електричного зміщення (індукції)
де - поляризованность діелектрика, яка дорівнює електричному моменту одиниці об'єму поляризованого діелектрика.
У стаціонарному незмінному в часі електричному полі в провідному середовищі в суміжні моменти часу розподіл зарядів однаково, тому для цього поля справедливо визначення різниці потенціалів за формулою.
Всередині джерела постійної ЕРС результуюча напруженість електричного поля дорівнює векторній сумі потенційної (кулоновой) складової і сторонньої складової:
розділяє заряди всередині джерела, вона обумовлена хімічними, електрохімічними, тепловими та інші процеси використовують електростатичного походження і спрямована зустрічно. В електромагнітному полі можуть протікати електричні струми. Під електричним струмом розуміють спрямоване (впорядковане) рух електричних зарядів. Струм в деякій точці поля характеризується своєю щільністю (А / м 2). Відомі три види струму: струм провідності (щільність його), струм зміщення (щільністю) і струм переносу (щільністю). Струм провідності протікає в провідних тілах під дією електричного поля, щільність його пропорційна
де # 947; - питома провідність провідного тіла, Ом -1 · м -1. В металах струм провідності обумовлений впорядкованим рухом вільних електронів, в рідинах - рухом іонів. Щільність струму зміщення в діелектрику дорівнює похідної за часом від вектора електричного зміщення:
Доданок представляє собою складову струму зміщення, обумовлену зміною в часі напруженості поля в вакуумі. Носіями струму зміщення в фізичному вакуумі (в ньому немає частинок речовини) є віртуальні частинки. Вони завжди виникають парами, як б з нічого, наприклад, електрон і позитрон, або протон і антипротон і т. П. Кожна пара віртуальних частинок є коротко живе (час життя). Складові її частки можуть переміщатися на дуже малу відстань, а потім ці частинки з протилежного знака зарядами анігілюють. Кожна віртуальна частинка володіє розкидом енергії і розкидом імпульсу, де постійна Планка h = 6,626 · 10 -34 Дж · с. Для кожної пари віртуальних частинок виконується закон збереження заряду, але в рамках співвідношення невизначеностей спостерігаються місцеві порушення закону збереження енергії і закону збереження імпульсу. Доданок обумовлено зміною поляризованности в часі (зміною розташування зв'язаних зарядів в діелектрику при зміні в часі). Як приклад струму зміщення може бути названий струм через конденсатор. Струм перенесення обумовлений рухом електричних зарядів у вільному просторі. Прикладом струму перенесення може служити ток в електронній лампі. Якщо позитивний заряд об'ємної щільності рухається зі швидкістю і негативний заряд об'ємної щільності зі швидкістю, то щільність струму перенесення в цьому полі в явному вигляді не залежить від напруженості в даній точці поля. Якщо в деякій точці поля одночасно існували б всі три види струму, то повна щільність струму. Для більшості завдань ток перенесення відсутня.
Струм - це скаляр алгебраїчного характеру. Повний струм через поверхню S дорівнює
Якщо в електромагнітному полі виділити певний обсяг, то струм, який увійшов в обсяг, буде дорівнювати струму, який вийшов з обсягу, т. Е.
де - елемент поверхні обсягу, він спрямований в бік зовнішньої поотношению до обсягу нормалі до поверхні. Останнє рівняння виражає принцип безперервності повного струму: лінії повного струму представляють замкнуті лінії, що не мають ні початку, ні кінця.
Електричні струми неразривносвязани з магнітним полем. Цей зв'язок визначається інтегральної формою закону повного струму
циркуляція вектора по замкнутому контуру дорівнює повному струму, охопленому цим контуром; - елемент довжини контура (рис. 1.3). Таким чином, всі види струмів, хоча і мають різну фізичну природу, мають властивість створювати магнітне поле.
Феромагнітні речовини мають спонтанної намагніченістю. Характеристикою її є магнітний момент одиниці об'єму речовини (його називають намагніченістю). Для феромагнітних речовин
де - відносна магнітна проникність; - абсолютна магнітна проникність.
Напруженість магнітного поля
дорівнює різниці двох векторних величин і.
Закон повного струму в інтегральній формі часто записують у вигляді
або в диференціальної формі
Запис (1.14) закону повного струму отримали з (1.13), поділивши обидві частини його на площу, охоплену контуром інтегрування, і прагненні до нуля. Фізичний ротор (rot) характеризує поле в даній точці щодо здатності до утворення вихорів.
Щільність струму перенесення в правій частині останнього рівняння не враховано, так як він зазвичай відсутня в задачах, що вирішуються за допомогою цього рівняння. Магнітний потік через деяку поверхню S (рис. 1.4) визначають як потік вектора через цю поверхню
потік # 934; - це скаляр алгебраїчного характеру, вимірюється в Вебера (Вб). Якщо поверхня S замкнута і охоплює обсяг V. то потік, який увійшов в обсяг, дорівнює потоку, який вийшов з нього, т. Е.
Це рівняння виражає принцип безперервності магнітного потоку. Лінії магнітної індукції - це замкнуті лінії. У диференціальної формі принцип безперервності магнітного потоку записується так:
У 1831 р М. Фарадей сформулював закон електромагнітної індукції: ЕРС eінд наведена в деякому одновиткового контурі пронизливим цей контур, що змінюються в часі магнітним потоком, визначається виразом
тут - індукційна складова напруженості електричного поля. Знак мінус обумовлений правої системою відліку: прийнято, що позитивний напрямок відліку для ЕРС і напрямок потоку при його зростанні пов'язані правилом правого гвинта (рис. 1.5).
Якщо контур багатовитковому (котушка з числом витків # 969;), то
тут # 936; - потокосцепление котушки, яка дорівнює загальній кількості потоків, що пронизують окремі витки котушки,
Якщо все витки # 969; пронизуються однаковими потоками # 934 ;, то
де # 936; - результуюче потокосцепление, воно може створюватися не тільки зовнішнім по відношенню до даного контуру потоком, але і власним потоком, що пронизує контур, при протіканні по ньому струму. У провіднику довжиною, що перетинає магнітні силові лінії незмінного в часі магнітного поля індукції (рис. 1.6), внаслідок сили Лоренца наводиться ЕРС
де - швидкість переміщення провідника щодо магнітного поля.
В (1.21) скалярно множиться на векторний добуток і.
Якщо в результаті розрахунку по (1.21), то спрямована по.
У 1833 р російський академік Е. X. Ленц встановив закон електромагнітної інерції. При кожній зміні магнітного потоку, зчіплюються з будь-яким проводять контуром, в ньому виникає индуктированная ЕРС, яка прагне викликати в контурі струм, який: 1) перешкоджає зміні потокосцепленія контуру; 2) викликає механічну силу, що перешкоджає зміні лінійних розмірів контуру або його повороту.
Закон електромагнітної індукції, застосований до контуру нескінченно малих розмірів, записується так:
(В останній формулі індукційну складову напруженості поля прийнято позначати). Узагальнюючи, можна сказати, що електромагнітне поле описується чотирма основними рівняннями в інтегральної формі:
Цим рівнянням відповідають чотири рівняння в диференціальної формі:
Вони сформульовані в 1873 р Д. Максвеллом. Їх називають рівняннями Максвелла або рівняннями макроскопічної електродинаміки.
Рівняння (а) означає, що вихровий магнітне поле створюється струмами провідності і струмами зміщення. Рівняння (б) свідчить про те, що зміна магнітного поля в часі викликає вихровий електричне поле. Рівняння (в) - магнітне поле не має джерел і рівняння (г) - що джерелом ліній є вільні заряди. Приватні похідні в рівняннях (а) і (б) враховують, що рівняння записані для нерухомих тіл і середовищ в обраній системі координат.