2.1 Способи визначення понять
Спочатку виділяють невизначені поняття, на підставі яких визначаються математичні поняття наступним чином:
1) через найближчий рід і видову відмінність: а) дескриптивное (з'ясовує процес, за допомогою якого визначення побудовано, або описує внутрішню будову в залежності від тих операцій, за допомогою яких дане визначення було побудовано з невизначених понять); б) конструктивне (або генетичне), яке вказує походження поняття.
Наприклад: а) прямокутник - це паралелограм, у якого всі кути прямі; б) колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається центром кола.
2) индуктивно. Наприклад, визначення арифметичної прогресії:
3) через абстракцію. Наприклад, натуральне число - характеристика класів еквівалентних множин;
4) аксіоматичне (непряме визначення). Наприклад, визначення площі фігури в геометрії: для простих фігур площа - це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості: а) рівні фігури мають рівні площі; б) якщо фігура розбивається на частини, які є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин; в) площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці виміру, дорівнює одиниці.
2.2 Явні і неявні визначення
Визначення поділяються на:
а) явні, в яких чітко виділені визначається і визначають поняття (наприклад, визначення через найближчий рід і видову відмінність);
б) неявні, які будуються за принципом заміни одного поняття іншим з більш широким обсягом і закінчення ланцюжка є невизначені поняття, тобто формально-логічне визначення (наприклад, квадрат - ромб з прямим кутом; ромб - паралелограм з рівними суміжними сторонами; паралелограм - чотирикутник, з попарно паралельними сторонами; чотирикутник - фігура, що складається з 4 кутів, 4 вершин, 4 сторін). У шкільних визначеннях найчастіше практикується перший спосіб, схема якого така: маємо безлічі і деякий властивість тоді
Основна вимога при побудова визначень: обумовлений безліч повинно бути підмножиною мінімального безлічі. Наприклад, порівняємо два визначення: (1) Квадрат є ромб з прямим кутом; (2) Квадрат є паралелограм з рівними сторонами і прямим кутом (надлишкове).
Будь-яке визначення є рішення задачі на "доказ існування". Наприклад, прямокутний трикутник є трикутник з прямим кутом; його існування - побудова.
2.3 Характеристика основних типів помилок
Відзначимо типові помилки, які зустрічаються в учнів при визначенні понять:
1) використання не мінімального безлічі як визначального, включення логічно залежних властивостей (характерно при повторенні матеріалу).
Наприклад: а) паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні і паралельні; б) пряма називається перпендикулярної до площини, якщо вона, перетинаючись з цією площиною, утворює прямий кут з кожної прямої, проведеної на площині через точку перетину, замість: "пряма називається перпендикулярної до площини, якщо вона перпендикулярна до всіх прямим цій площині";
2) використання визначається поняття і як визначального.
Наприклад, визначається прямий кут не як один з рівних суміжних кутів, а як кути із взаємно перпендикулярними сторонами;
3) тавтологія - визначається поняття через саме це поняття.
Наприклад, дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності;
4) іноді в ухвалі зазначається не те що б безліч, з якого виділяється визначається підмножина.
Наприклад, "медіана є пряма ..." замість "медіана є відрізок, що з'єднує ...";
5) у визначеннях, які дають учнями, іноді зовсім відсутня визначається поняття, що можливо лише тоді, коли учні не привчені давати повні відповіді.
Методика виправлення помилок у визначеннях припускає, спочатку, з'ясування суті допущених помилок, а потім попередження їх повторення.
3. Структура визначення
Знання визначення не гарантує засвоєння поняття. Методична робота з поняттями повинна бути спрямована на подолання формалізму, який проявляється в тому, що учні не можуть розпізнати визначається об'єкт в різних ситуаціях, де він зустрічається.
Розпізнавання об'єкту, яке відповідає даному визначенню, і побудова контрприкладів можливо лише при ясному представленні про структурах розглянутого визначення, під якою в схемі визначення () розуміють структуру правій частині.
1) Кон'юнктивна структура: дві точки і називаються симетричними відносно прямої p (A (x)), якщо ця пряма p перпендикулярна відрізку і проходить через його середину. Будемо також вважати, що кожна точка прямої р симетрична собі відносно прямої р (наявність союзу "і") (* - "Биссектрисой кута називається промінь, який виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл").
2) Конструктивна структура: "Нехай - дана фігура і р - фіксована пряма. Візьмемо довільну точку фігури і опустимо перпендикуляр на пряму р. На продовження перпендикуляра за точку відкладемо відрізок, рівний відрізку. Перетворення фігури в фігуру, при якому кожна точка переходить в точку, побудовану зазначеним чином, називають симетрією відносно прямої р. "
3) Диз'юнктивна структура: визначення безлічі Z цілих чисел можна записати на мові властивостей у вигляді Z N або N або = 0, де N - безліч чисел, протилежних натуральним.
4. Характеристика основних етапів вивчення математичних понять
Методика роботи над визначенням передбачає: 1) знання визначення; 2) навчання розпізнавання об'єкта, яке відповідає даному визначенню; 3) побудова різних контрприкладів. Наприклад, поняття "прямокутний трикутник" і робота по розпізнаванню його складових елементів:
Вивчення математичних визначень можна поділити на три етапи:
1-й етап - введення - створення на уроці ситуації, коли учні або самі "відкривають" нове, самостійно формують для них визначення, або просто готуються до їх розуміння.
2-й етап - забезпечення засвоєння - зводиться до того, щоб школярі:
а) навчилися застосовувати визначення;
б) швидко і безпомилково запам'ятовувати їх;
в) розуміли кожне слово в їх формулюваннях.
3-й етап - закріплення - здійснюється на наступних уроках і зводиться до повторення їх формулювань і обробці навичок застосування до вирішення завдань.
Ознайомлення з новими поняттями проводяться:
1 спосіб: учні готуються до самостійного формування визначення.
2 спосіб: учні готуються до свідомого сприйняття, розуміння нового математичного пропозиції, формулювання якого їм повідомляється потім в готовому вигляді.
3 спосіб: учитель сам формулює нове визначення без будь-якої підготовки, а потім зосереджує зусилля учнів на їх засвоєнні і закріпленні.
1 і 2 спосіб представляють евристичний метод, 3 спосіб - догматичний. Використання будь-якого із способів має відповідати рівню підготовленості класу і досвіду вчителя.
5. Характеристика прийомів введення понять
Можливі такі прийоми при введенні понять:
1) можна скласти такі вправи, які дозволяють учням швидко сформулювати визначення нового поняття.
Наприклад: а) Виписати декілька перших членів послідовності (), у якій = 2,. Така послідовність називається геометричною прогресією. Спробуйте сформулювати її визначення. Можна обмежитися підготовкою до сприйняття нового поняття.
б) Виписати декілька перших членів послідовності (), у якій = 4, Далі вчитель повідомляє, що така послідовність називається арифметичною прогресією і сам повідомляє її визначення.
2) при вивченні геометричних понять вправи формулюються таким чином, щоб учні побудували самі необхідну фігуру і змогли виділити ознаки нового поняття, необхідні для формулювання визначення.
Наприклад: побудуйте довільний трикутник, з'єднайте відрізком його вершину з серединою протилежної сторони. Такий відрізок називається медіаною. Сформулюйте визначення медіани.
Іноді пропонується скласти модель або, розглядаючи готові моделі і креслення, виділити ознаки нового поняття і сформулювати його визначення.
Наприклад: введено в 10 класі визначення паралелепіпеда. За запропонованими моделями похилого, прямого і прямокутного паралелепіпедів виділити ознаки, за якими ці поняття розрізняються. Сформулювати відповідні визначення прямого і прямокутного паралелепіпедів.
3) Багато алгебраїчні поняття вводяться на підставі розгляду окремих прикладів.
Наприклад: графіком лінійної функції є пряма.
4) Метод доцільних задач, (розроблений С.І. Шохор-Троцьким) За допомогою спеціально підібраної завдання учні приходять до висновку про необхідність введення нового поняття і доцільності надання йому саме такого сенсу, який воно вже має в математиці.
У 5-6 класах таким методом вводяться поняття: рівняння, корінь рівняння, рішення нерівностей, поняття дій додавання, віднімання, множення, ділення над натуральними числами, десятковими і звичайними дробами і т.д.
а) розглядаються конкретні приклади;
б) виділяються істотні властивості;
в) формулюється визначення;
г) виконуються вправи: на розпізнавання; на конструювання;
д) робота над властивостями, не включеними в визначення;
е) застосування властивостей.
Наприклад: тема - паралелограми: