Лекція 7. КІНЕМАТИКА ТОЧКИ
Оскільки в кінематиці дію сил не розглядається, то залишаються осторонь також і інертні властивості тіл. Зокрема, залишається без будь-якого застосування міра інертності матеріальної точки - її маса. З цієї причини поняття матеріальної точки і геометричної точки в кінематиці не розрізняються, можна говорити просто про точку. З питань руху цього найпростішого об'єкта ми і почнемо виклад кінематики.
Способи завдання руху точки
Розрізняють векторний, координатний і природний (натуральний) способи завдання руху.
Векторний спосіб завдання руху полягає в наступному.
Нехай М - рухома точка, А - тіло відліку (рис. 72). Виберемо в тілі А довільну точку О - точку відліку, побудуємо вектор. Цей вектор, початок якого збігається з точкою відліку О, а кінець - з точкою М називається радіусом-вектором точки М. При русі точки М радіус-вектор безперервно змінюється в часі, тому існує деяка вектор-функція часу
Якщо ця функція відома, то для кожного моменту часу t може бути побудований вектор і тим самим знайдено положення рухається точки в цей момент.
Функція (1) називається векторним законом (векторних рівнянням) руху точки М.
При координатному способі завдання руху з тілом відліку зв'язується будь-яка, наприклад декартова прямокутна, система координат (рис. 73).
Рух точки буде задано, якщо її координати будуть відомі як функції часу Рис. 72
Залежності (2), що виражають поточні координати рухається точки у вигляді функцій часу, називаються рівняннями руху точки в декартових координатах.
Якщо точка рухається, залишаючись весь час в одній площині, то осі можна розташувати в тій же площині і обмежитися двома рівняннями руху
При русі в площині часто зручно користуватися полярної системою координат, задаючи положення точки її полярним кутом і полярним радіусом (рис. 74). У цьому випадку рівняння руху точки мають вигляд
Лінія, що описується рухається точкою в просторі, називається траєкторією точки. Природний спосіб завдання руху полягає в завданні траєкторії точки і закону руху по траєкторії.
Нехай траєкторія точки М суть задана крива, М - положення точки на ній (рис. 75). Будемо розглядати траєкторію як криволінійну координатну вісь, для чого виберемо на ній початок відліку (точку) і напрямок відліку дуг (на рис. 75 напрямок відліку вибрано вправо від точки). Довжина дуги, взята зі знаком плюс або мінус в залежності від положення точки М відносно початку відліку, цілком визначає положення точки в просторі і називається дугового координатою точки. Рух точки буде задано, якщо її дугова координата 5 буде виражена у вигляді функції часу
Залежність (4) називається законом руху точки по траєкторії або, що те ж саме, законом руху точки в природній формі.
Написати рівняння руху точки, що рухається рівномірно по колу радіуса R і робить n оборотів за одну хвилину.
Почнемо з природного способу опису руху. Изображаем траекторію- коло радіуса R з центром в точці О (рис. 76). Початок відліку дуг сумісний з положенням точки в момент початку спостереження, тобто при; за позитивний напрямок відліку виберемо напрямок в сторону руху точки.
Нехай М становище рухається точки в поточний момент часу. Для центрального кута, який будемо відраховувати в сторону руху точки, згідно з умовою, можемо написати
Тут вимірюється в радіанах, t - в секундах.
Довжина s дуги, радіус кола R і центральний кут пов'язані геометричним співвідношенням
Підставляючи сюди знайдене значення, отримуємо
Це і є закон природній формі.
Для опису руху в координатної формі перш за все слід вибрати відповідну систему координат, наприклад, зображену на рис. 77. Далі будують координатні відрізки і визначають відповідні змінні відстані. У нашому випадку будемо мати:
Підставляючи сюди кут як функцію часу, отримуємо рівняння руху в координатної формі
руху точки в
Нехай - координатні орти. Тоді для радіуса-вектора точки матимемо:
Отримане рівність, що виражає радіус-вектор точки М як функцію часу, служить векторних рівнянням її руху.