Стрибкоподібна-діфузіонной модель
Основоположником даної моделі є Роберт С. Мертон, які вивів її, розширивши стрибкоподібну модель. Стрибкоподібна диффузионная модель є одним з видів моделі використовуються для визначення вартості опціону. Він змішує два методи ціноутворення: більш традиційні дифузійні моделі, в яких фактори відіграють в гладкою і щодо послідовної манері, а також моделі із стрибкоподібним процесом, в якому поодинокі події можуть викликати значні зміни. Теорія полягає в тому, що стрибкоподібне диффузионная модель, таким чином, створює більш реалістичне уявлення про поведінку ринків. Він намагається охопити ідею, що ринки мають поєднання загальних тенденцій, незначних змін день у день і великих потрясінь.
Розглянемо ринок без ризикових акцій (облігацій) і один ризиковий актив (акція), ціна якого в момент часу t позначається St. У стрибкоподібної моделі, стохастичне диференціальне рівняння для котирування даних виражається як:
де Zt це Броунівський рух і Jt = # 63; Yi це процес пуассоновским розподілу, в якому розміри стрибок Yi незалежні і однаково розподілені з розподілом F і кількості стрибків Nt являє собою процес Пуассона з інтенсивністю стрибка # 63 ;. Ціна активу St таким чином слід за геометричним Броунівським рухом між стрибками. Процес моделювання Монте-Карло може здійснюватися шляхом першого імітації кількості переходів Nt, часу стрибка і імітації геометричного броунівського руху на інтервалах між стрибками. Стохастическое диференціальне рівняння має точне рішення:
Мертон розглядає випадок, де розмір стрибка Yi задається нормальним розподілом.
Впродовж останнього десятиріччя, науково-дослідні відділи великих банків почав приймати стрибкоподібну диффузионную модель як цінний інструмент в їх щоденному моделюванні.
Стрибкоподібний Марковський процес
Особливе місце марковських процесів серед інших класів випадкових процесів обумовлено наступними обставинами: для марковських процесів добре розроблений математичний апарат, що дозволяє вирішувати багато практичні завдання; за допомогою марківських процесів можна описати (точно або наближено) поведінка досить складних систем.
Класифікація марківських випадкових процесів проводиться в залежності від безперервності або дискретності безлічі значень функції X
Розрізняють такі основні види марковських випадкових процесів:
* З дискретними станами та дискретним часом (ланцюг Маркова);
* З безперервними станами і дискретним часом (марковские послідовності);
* З дискретними станами і безперервним часом (безперервний ланцюг Маркова);
* З безперервним станом і безперервним часом.