Спочатку з'ясуємо, як вирішувати рівняння, в одній частині якого - сума квадратів логарифмів, а в іншій - нуль.
Так як сума невід'ємних функцій дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли кожна з функцій дорівнює нулю, сума квадратів логарифмів дорівнює нулю, якщо кожен з логарифмів дорівнює нулю.
Оскільки логарифм одиниці дорівнює нулю, сума квадратів логарифмів дорівнює нулю за умови, що під знаком кожного з логарифмів варто одиниця:
З умови рівності суми невід'ємних чисел слід, що
З умови рівності нулю логарифма
Вирішуємо кожне з квадратних рівнянь:
Обидва логарифма дорівнюють нулю при x = 3.
Зверніть увагу, що ОДЗ в цьому рівнянні ми записали, але не шукали. У процесі рішення з'являються нові рівняння, коріння яких (якщо вони є) автоматично входять в ОДЗ вихідного рівняння:
Аналогічно міркуємо при вирішенні рівнянь, що містять логарифм в будь-який парної ступеня, якщо в одній частині рівняння стоїть сума невід'ємних чисел, а в іншій - нуль.
Ліва частина рівняння - сума невід'ємних функцій, права - нуль. Отже, дане рівняння рівносильне системі
Кожне складова звертається в нуль при x = -3. Цей корінь входить в ОДЗ.
Якщо сума квадратів логарифмів дорівнює позитивному числу, перетворимо її, використовуючи властивості логарифмів.
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів, логарифм приватного - різниці логарифмів. Оскільки кожен логарифм в квадраті, суму і різницю також потрібно звести в квадрат:
призводить до рівняння
Сума квадратів логарифмів рівній негативного числа бути не може.