Мета: Формування навичок виконання операцій над векторами і обчислення модуля і скалярного твори векторів.
На виконання практичної роботи відводиться 2 години.
Вимоги до виконання практичної роботи:
1.Ответіть на теоретичні питання.
2.Оформіть завдання в зошиті для практичних робіт.
Відрізок називається спрямованим. якщо один з його кінців вважається початком відрізка, а інший - його кінцем.
Вектором називається спрямований відрізок. Вектор, заданої парою незбіжних точок, позначається символом. Точка називається початком. а точка - кінцем вектора.
відстань | | називається диною (модулем) вектора.
Вектор. кінці якого збігаються, називається нульовим вектором. Довжина нульового вектора дорівнює нулю.
Два вектора називаються колінеарними. якщо вони лежать на одній або на паралельних прямих. Нульовий вектор вважається колінеарну будь-якому вектору.
Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:.
Скалярний добуток векторів і виражається через їх координати по формулі.
Кут між двома векторами і знаходиться за формулою.
Якщо відрізок розділений точкою в відношенні. то координати точки знаходяться за формулами
Якщо. то виходять формули для знаходження координат середини відрізка:
Завдання: Відрізок, кінці якого А (-11; 1) і В (9; 11), розділений щодо 2: 3: 5 (від А до В). Знайти точки ділення.
Рішення: Позначимо точки ділення від А до В через С і D. За умовою. . . і АС: СD: DВ = 2: 3: 5. тоді С ділить АВ відносно; значить; ; таким чином точка С має координати (-7; 3).
Точка D служить серединою АВ, тому; . Тоді D (-1; 6).
Завдання для самостійної роботи
- Знайдіть координати вектора. якщо. .
- Точка ділить АВ у відношенні 1: 4 (від А до В). Знайдіть точку А. якщо В (-6; -1).
- Знайдіть точку М. рівновіддаленість від осей координат і від даної точки А (4; -2).
- Обчисліть кут між векторами і.
- Дано вектори. і. Визначте координати вектора: а);
- Знайдіть скалярний добуток векторів і.
- Обчисліть і. якщо:
- Знайдіть скалярний добуток векторів:
2. Що розуміється під довжиною або модулем вектора?
3. Які вектори називаються колінеарними?
4. Що ми розуміємо під твором вектора на число?
5. Що називається сумою векторів? Які правила знаходження сум векторів існують?
6. Що називається різницею двох векторів? Як побудувати різницю двох векторів?
7. Дайте визначення скалярного добутку двох векторів?
8. За якою формулою обчислюється скалярний твір в координатах?
9. За якою формулою обчислюється кут між двома векторами в координатах?
Практичне заняття №6
Тема: Складання рівнянь прямих і кривих другого порядку, їх побудова
Мета: Формування навичок складання рівнянь прямих і кривих другого порядку, їх побудови
На виконання практичної роботи відводиться 2 години.
Вимоги до виконання практичної роботи:
1.Ответіть на теоретичні питання.
2.Оформіть завдання в зошиті для практичних робіт.
Рівняння першого ступеня щодо змінних і. тобто рівняння виду за умови, що коефіцієнти і одночасно не рівні нулю, називається загальним рівнянням прямої.
Рівняння виду називається векторним рівнянням прямої. Якщо його переписати в координатної формі, то вийде рівняння.
Канонічне рівняння прямої записується в наступному вигляді. де і - координати направляючого вектора прямої.
Рівняння прямої у відрізках на осях має вигляд. де і - відповідно абсциса і ордината точок перетину прямої з осями і.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд. де - кутовий коефіцієнт, що дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі. а - ордината точки перетину прямої з віссю.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку. має вигляд . де - кутовий коефіцієнт прямої.
Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки і. має вигляд . Кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки і. знаходиться зі співвідношення.
Окружністю називається безліч точок площині, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яку називають центром.
Рівняння кола з центром на початку координат і радіусом має вигляд.
Рівняння кола з центром в точці і радіусом має вигляд.
Рівняння кола в загальному вигляді записується так:. де. . і - постійні коефіцієнти.
Еліпсом називається безліч точок площині, сума відстаней яких до двох даних точок, які називаються фокусами, є величина постійна. велика відстані між фокусами.
Рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі. має вигляд . де - довжина більшої півосі; - довжина малої півосі.
Гіперболою називається безліч точок площині, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох даних точок, які називаються фокусами, є величина постійна. менша відстані між фокусами.
Рівняння гіперболи, фокуси якого лежать на осі. має вигляд . де - довжина дійсної півосі; - довжина уявної півосі.
Параболою називається безліч точок на площині, рівновіддалених від даної точки, званої фокусом, і від даної прямої, званої директоркою.
Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої служить вісь і гілки спрямовані вгору, має вигляд. де (параметр параболи) - відстань від фокуса до директриси. Рівняння її директриси.
Рішення: Знайдемо точки перетину прямої з осями і.
Зобразимо знайдені точки на координатній площині і з'єднаємо їх, таким чином, отримаємо пряму задану рівнянням (рис. 1).
Завдання 3: Скласти рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку.
Рішення: Вектор коллінеарен шуканої прямої. Для складання рівняння прямої використовуємо канонічне рівняння прямої:. Таким чином, підставивши в дане рівняння. . . отримаємо шукане рівняння прямої що проходить через початок координат і точку:
Завдання 4: Скласти рівняння прямої, що проходить через дану точку і перпендикулярної даному вектору.
Рішення: Нехай - довільна точка шуканої прямої. Вектор перпендикулярний вектору. Так як вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто. Записавши твір цих векторів в координатної формі, отримаємо:
. Рівняння шуканої прямої має вигляд.
Завдання для самостійної роботи
- Перевірити чи належать точки. . і прямий.
- Побудувати прямі:
- Побудувати фігуру, обмежену лініями. . і. Обчислити площу цієї фігури.
- Перетворіть рівняння наступних прямих до рівнянь в відрізках на осях:
- Скласти рівняння прямої, що проходить через початок координат і точку. 1);
- Скласти рівняння прямої, що проходить через дану точку і перпендикулярної даному вектору:
- Скласти рівняння кола, що проходить через точки:
- Складіть рівняння еліпса, якщо дві його вершини знаходяться в точках і. а фокуси в точках і:
Питання для самоконтролю:
1. Яке рівняння називається загальним рівнянням прямої?
2. Який вид має векторне рівняння прямої?
3. Яке рівняння називається канонічним рівнянням прямої?
4. Запишіть рівняння прямої в відрізках на осях і рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
5. Який вид мають рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямку і прямої, що проходить через дві дані точки?
6. Що називається колом, еліпсом, гіперболою, параболою?
Практичне заняття №7