Загальна формулювання: Потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку, довільно обрану замкнуту поверхню пропорційний укладеним всередині цієї поверхні електричного заряду.
.
,
§ - потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню.
§ - повний заряд, що міститься в обсязі, який обмежує поверхню.
Цей вираз являє собою теорему Гаусса в інтегральної формі.
У диференціальної формі теорема Гаусса відповідає одному з рівнянь Максвелла і виражається наступним чином
,
.
Тут - об'ємна щільність заряду (в разі присутності середовища - сумарна щільність вільних і зв'язаних зарядів), а - оператор Набла.
Для теореми Гаусса справедливий принцип суперпозиції, тобто потік вектора напруженості через поверхню не залежить від розподілу заряду всередині поверхні.
Фізичною основою теореми Гаусса є закон Кулона або, інакше, теорема Гаусса є інтегральною формулюванням закону Кулона.
Теорема Гаусса для електричної індукції (електричне зміщення) Правити
Для поля в речовині електростатична теорема Гаусса може бути записана інакше-через потік вектора електричного зміщення (електричної індукції). При цьому формулювання теореми виглядає наступним чином: потік вектора електричного зміщення через замкнуту поверхню пропорційний укладеним всередині цієї поверхні вільному електричномузаряду:
Якщо ж розглядати теорему для напруженості поля в речовині, то в якості заряду Q необхідно брати суму вільного заряду, що знаходиться всередині поверхні і поляризаційного (індукованого, пов'язаного) заряду діелектрика:
,
де,
- вектор поляризації діелектрика.
Теорема Гаусса для магнітної індукції Правити
Потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю:
.
Це еквівалентно тому, що в природі не існує «магнітних зарядів» (монополів), які створювали б магнітне поле, як електричні заряди створюють електричне поле. Іншими словами, теорема Гаусса для магнітної індукції показує, що магнітне поле є вихровим.
Застосування теореми Гаусса Правити
Для обчислення електромагнітних полів використовуються наступні величини:
§ Об'ємна щільність заряду (див. Вище).
§ Поверхнева щільність заряду
,
де dS - нескінченно малий ділянку поверхні.
§ Лінійна щільність заряду
,
де dl - довжина нескінченно малого відрізка.
Розглянемо поле, створюване нескінченної однорідної зарядженої площиною. Нехай поверхнева щільність заряду площині однакова і дорівнює # 963 ;. Уявімо собі подумки циліндр з утворюють, перпендикулярними до площини, і підставою # 916; S, розташованим відносно площини симетрично. В силу симетрії. Потік вектора напруженості дорівнює. Застосувавши теорему Гаусса, отримаємо:
,
,
Важливо відзначити, що незважаючи на свою універсальність і спільність, теорема Гаусса в інтегральної формі має порівняно обмежене застосування в силу незручності обчислення інтеграла. Однак в разі симетричної задачі рішення її стає набагато простішим, ніж з використанням принципу суперпозиції.