Дану теорему можна сформулювати для зростаючих послідовностей наступним чином:
Якщо послідовність є зростаючою і обмеженої зверху, то межа цієї послідовності є її точна верхня грань:
Для відбувають послідовностей:
Якщо послідовність є спадною і обмеженою знизу, то межа цієї послідовності дорівнює її точної нижньої межі:
Зауваження. Теорема Вейєрштрасса про межі монотонної послідовності - це теорема про існування границі послідовності, і вона не дає ніяких методів знаходження цієї межі.
Приклади розв'язання задач
Припустимо, що межа даної послідовності існує, тобто:
Прирівнюючи праві частини останніх двох рівностей, приходимо до рівняння щодо:
Вирішуючи його, отримаємо
Значення не підходить, так як межа невід'ємних чисел не може бути негативним числом. Отже, якщо межа заданій послідовності існує, то він дорівнює 3.
Доведемо існування межі. Для цього, по теоремі Вейерштрасса, послідовність повинна бути монотонної й обмеженої. Розглянемо різницю
Знаменник останньої дробу позитивний для будь-якого значення, а чисельник від'ємний при. Таким чином, для і задана послідовність є монотонно зростаючою. Виходить, що послідовність є зростаючою тільки до третього члена?
Для того, щоб монотонно зростаюча послідовність була обмеженою, необхідно, щоб вона була обмежена зверху. Доведемо, що, для будь-кого. Доказ проведемо методом математичної індукції.
1 крок. Перевіримо, виконання нерівність при. дійсно,
2 крок. Припустимо, що для нерівність виконується:.
3 крок. Перевіримо виконання нерівності для:
Отже, доведено, що нерівність виконується для будь-кого. І по теоремі Вейерштрасса задана послідовність сходиться.