теорія фракталів
Дивні атрактори завжди мають фрактальну розмірність. Тому для опису хаотичних атракторів використовується апарат геометрії фракталів, яка описує «структури хаосу».
Термін «фрактал» належить Бенуа Мандельброту. У трьох своїх книгах ( «Фрактальні об'єкти: форма, випадок і розмірність», 1975; «Фрактали: форма, випадок і розмірність», 1977; «Фрактальна геометрія природи», 1977) Мандельброт запропонував неевклідову геометрію негладких, шорсткуватих, зазубрених, поїдених ходами і отворами, шорстких і т.п. об'єктів. Саме «неправильні» об'єкти складають переважну більшість об'єктів в природі. Сам Б. Мандельброт охарактеризував створену ним теорію як морфологію безформного.
Евклід звів природу до чистих і симетричним об'єктів: точка, одномірна лінія, двовимірна площина, тривимірне тіло. Жодні з цих об'єктів не має в собі отворів і зовнішніх нерівностей. У кожного правильна гладка форма. Природні об'єкти огрублених форм не є різновидами чистих евклідових структур. Більшість природних форм і тимчасових рядів найкращим чином описуються фракталами.
Мандельброт ввів у вживання термін фрактал (від латинського слова «fractus» - дробовий, фрагментований), грунтуючись на теорії фрактальної (дробової) розмірності Безиковича-Хаусдорфа, запропонованої в 1919 році.
Розмірність Безиковича-Хаусдорфа збігається з евклідової для регулярних геометричних об'єктів (для кривих, поверхонь і тіл, що вивчаються в сучасному підручнику геометрії Евкліда). Розмірність Безиковича-Хаусдорфа дивного аттрактора Лоренца більше 2, але менше 3: аттрактор Лоренца вже не гладка поверхня, але ще не об'ємне тіло.
В геометрії Евкліда чим більше ми наближаємо свій погляд до об'єкта, тим простіше він стає. Тривимірний блок стає двовимірної площиною, потім одновимірної лінією, до тих пір поки не стане точкою. У фрактальних (природних) об'єктах в міру збільшення виявляється все більше деталей. Відмітною ознакою фрактальних об'єктів є те, що кожна з деталей містить в собі загальну структуру. Одне з визначень фрактала говорить: фрактал - самоподібна структура. Самоподібність (масштабна інваріантність) - явище, що складається в тому, що малі частини об'єкта якісно однакові з цілісним об'єктом або подібні до нього, іншими словами, це властивість виглядати в будь-якому, як завгодно малому масштабі приблизно однаково. У фрактальних часових рядах малі інтервали часу будуть статистично подібні великим інтервалом. Фрактальні форми виявляють просторове самоподоба. Фрактальні тимчасові ряди мають статистичне самоподоба в часі.
Отже, ми вже зустрілися з двома визначеннями фрактала (через дробову розмірність і через властивість масштабної інваріантності). Остаточного визначення фрактала до сих пір не знайдено. Можливо, що цього не станеться ніколи, оскільки фрактальная геометрія - геометрія природи.
Як відомо, метод ітерації визначає положення точки в якийсь момент часу через її положення в попередній момент часу, тобто працює зворотний зв'язок. У вигляді алгоритму це можна відобразити наступним чином: «початкові стану» + «породжує покрокова процедура» = «розгорнута фрактальної структури». Фрактальні безлічі задаються за допомогою нелінійних рівнянь, що описують динамічні системи з зворотними зв'язками. Фрактал є граничне безліч породжує правила. Фрактал є самоорганізується структурою, причому породжує правило можна сприймати як реплікант, «суб'єкт» самоорганізації.
В принципі, фрактальна геометрія є абсолютно самостійною наукою, однак її ідеї вже в значній мірі «асимільовані» синергетикою, а синергетика свого часу надихала Бенуа Мандельброта при дослідженні фрактальних об'єктів. Тому ми не будемо проводити жорстких кордонів між синергетическим підходом і теорією фракталів.
Існують два типи фракталів: детерминистические і випадкові. Детерміністичні фрактали в більшості випадків симетричні. Але природа відкидає симетрію, тому природні об'єкти описуються за допомогою випадкових фракталів. Випадкові фрактали не завжди включають в себе частини, які виглядають схожими на ціле. Частини і ціле можуть співвідноситися якісно. Випадкові фрактали являють собою комбінацію породжують правил, вибраних навмання в різних масштабах.