Теорія Галуа.
Однак і це було ще не все. Саме чудове в теорії алгебраїчного рівняння ще залишалося попереду. Справа в тому, що є хоч греблю гати приватних видів рівнянь всіх ступенів, які вирішуються в радикалах, і як раз рівнянь, важливих у багатьох додатках. Такими є, наприклад, двочленних рівняння
Абель знайшов інший дуже широкий клас таких рівнянь, так звані циклічні рівняння і ще більш загальні «абелеві» рівняння. Гаусс з приводу завдання побудови циркулем і лінійкою правильних багатокутників детально розглянув так зване рівняння розподілу кола, т. Е. Рівняння виду
де - просте число, і показав, що воно завжди може бути зведене до вирішення ланцюга рівнянь нижчих ступенів, причому знайшов умови, необхідні і достатні для того, щоб таке рівняння вирішувалося в квадратних радикалах. (Необхідність цих умов була строго обгрунтована тільки Галуа.)
Отже, після робіт Абеля положення було наступне: хоча, як це показав Абель, загальне рівняння, ступінь якого вище четвертої, взагалі кажучи, не наважується в радикалах, проте є хоч греблю гати різних приватних рівнянь будь-яких ступенів, які все ж наважуються в радикалах. Все питання про рішення рівнянь в радикалах був поставлений цими відкриттями на зовсім новий грунт. Стало ясно, що треба шукати, які все ті рівняння, які вирішуються в радикалах, або, інакше кажучи, яке умова, необхідне і достатнє для того, щоб рівняння вирішувалося в радикалах. Це питання, відповідь на який давав в деякому сенсі остаточне з'ясування всієї завдання, вирішив геніальний французький математик Еваріст Галуа.
Галуа (1811-1832) помер у віці 20 років на дуелі і в останні два роки свого життя не міг присвячувати багато часу заняттям математикою, так як був захоплений бурхливим вихором політичного життя часів революції 1830 р сидів у в'язниці за свої виступи проти реакційного режиму Людовика-Філіпа і т. п. Проте за своє коротке життя Галуа зробив в різних частинах математики відкриття, далеко випередили його час, і, зокрема, дав найчудовіші з наявних результатів в теорії алгебраїчних рівнянь. У невеликій роботі «Мемуар про умови можливості розв'язання рівнянь в радикалах», що залишилася в його рукописах після його смерті і вперше оприлюдненій Ліувілль лише в 1846 р Галуа, виходячи з найпростіших, але глибоких міркувань, нарешті, розплутав весь клубок труднощів, зосереджених навколо теорії рішення рівнянь в радикалах, - труднощів, над якими безуспішно билися до того найбільші математики. Успіх Галуа був заснувавши на те, що він перший застосував в теорії рівнянь ряд надзвичайно важливих нових загальних понять, згодом зіграли велику роль у всій математиці в цілому.
Розглянемо теорію Галуа для окремого випадку, а саме того, коли коефіцієнти заданого рівняння ступеня
- раціональні числа. Випадок цей особливо цікавий і містить
в собі по суті вже всі труднощі загальної теорії Галуа. Ми будемо, крім того, припускати, що всі корені даного рівняння різні.
Галуа починає з того, що, подібно до Лагранжу, розглядає деякий вираз 1-го ступеня щодо
але він не вимагає, щоб коефіцієнти цього виразу були корінням з одиниці, а бере за деякі цілі раціональні числа, такі, щоб були чисельно різні все значень які виходять, якщо в V переставити коріння усіма можливими способами. Це завжди можна зробити. Далі, Галуа становить то рівняння ступеня, корінням якого є Неважко показати за допомогою теореми про симетричні многочленах, що коефіцієнти цього рівняння ступеня будуть раціональними числами.
До сих пір все досить схоже на те, що робив Лагранж.
Далі Галуа вводить перша важлива нове поняття - поняття неприводимости многочлена в даному полі чисел. Якщо заданий деякий многочлен від коефіцієнти якого, наприклад, раціональні, то многочлен називається приводиться в поле раціональних чисел, якщо він може бути представлений у вигляді добутку многочленів нижчих ступенів з раціональними коефіцієнтами. Якщо немає, то многочлен називається непріводімим в поле раціональних чисел. Многочлен наводимо в поле раціональних чисел, так як він дорівнює а, наприклад, многочлен як це можна показати, не приводиться в полі раціональних чисел.
Існують способи, правда, що вимагають довгих обчислень, для того щоб розкласти будь-який заданий многочлен з раціональними коефіцієнтами на незвідні множники в полі раціональних чисел;
Галуа пропонує розкласти отриманий ним многочлен на Непріводімие множники в полі раціональних чисел.
Нехай - один з таких непріводімих множників (який з них, для подальшого все одно) і нехай він мірі.
Многочлен буде тоді твором з множників 1-го ступеня на які розкладається многочлен ступеня Нехай цими множителями є - Перенумеруем будь-яким чином числами (номерами) коріння заданого рівняння ступеня. Тоді входять всі можливі перестановок нумеров коренів, а в - тільки з них. Сукупність цих перестановок номерів називається групою Галуа заданого рівняння
Далі Галуа вводить ще деякі нові поняття і проводить хоча і прості, але воістину чудові міркування, з яких виходить, що умова, необхідне і достатнє для того, щоб рівняння (6) вирішувалося в радикалах, полягає в тому, щоб група перестановок номерів задовольняла деякого певній умові.
Таким чином, передбачення Лагранжа, що в основі всього питання лежить теорія перестановок, виявилося правильним.
Зокрема, теорема Абеля про нерозв'язності загального рівняння 5-го ступеня в радикалах може бути тепер доведена так. Можна показати, що існує скільки завгодно рівнянь 5-го ступеня, навіть з цілими раціональними коефіцієнтами, таких, для яких відповідний многочлен 120-го ступеня неприводим, т. Е. Таких, група Галуа яких є група всіх перестановок номерів 1, 2, 3 , 4, 5 їх коренів. Але група ця, як це можна довести, що не відповідає критерію (ознакою) Галуа, і тому такі рівняння 5-го ступеня не вирішуються в радикалах.
Так, наприклад, можна показати, що рівняння де а - позитивне ціле число, здебільшого не вирішується в радикалах. Наприклад, воно не вирішується в радикалах при