Матриці, дії з матрицями, обернена матриця. Матричні рівняння і їх рішення.
Матриця - прямокутна таблиця довільних чисел, розташованих в певному порядку, розміром m * n (рядків на стовпці). Елементи матриці позначаються, де i - номер рядка, а j - номер стовпця.
Додавання (віднімання) матриць визначені тільки для однорозмірних матриць. Сума (різниця) матриць - матриця, елементи якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.
Множення (розподіл) на число - множення (ділення) кожного елемента матриці на це число.
Множення матриць визначено тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.
Множення матриць - матриця, елементи яких задаються формулами:
Транспонування матриці - така матріцаB, рядки (стовпці) якої є стовпцями (рядками) у вихідній матріцеA. позначається
Зворотній матриця - така квадратна матріцаX, яка разом з квадратною матрицею A того ж порядку, удовлевторяет умові :, гдеE - одинична матриця, того ж порядку що іA. Будь-яка квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має 1 зворотну матрицю. Знаходиться за допомогою методу елементарних перетворень і за допомогою формули:
Матричні рівняння - рівняння відаA * X = B є твір матриць, відповіддю на дане рівняння є матріцаX, яка знаходиться за допомогою правил:
Лінійна залежність і незалежність стовпців (рядків) матриці. Критерій лінійної залежності, достатні умови лінійної залежності стовпців (рядків) матриці.
Система рядків (стовпців) називається лінійно незалежною. якщо лінійна комбінація тривіальна (рівність виконується тільки пріa1 ... n = 0), гдеA1 ... n - стовпці (рядки), аa1 ... n - коефіцієнти розкладання.
Критерій. для того, що б система векторів була лінійно зависмости, необхідно і достатньо, щоб хоча б один з векторів системи лінійно висловлювався через інші вектори системи.
Визначники матриці і їх властивості
Визначник матриці (детермінанта) - таке число, яке для квадратної матріциA може бути обчислено за елементами матриці за формулою:
, де - додатковий мінор елемента
=
При перестановці двох паралельних рядів визначник змінює знак на протилежний
Визначник має два однакових ряду дорівнює нулю
Якщо рядки або стовпці лінійно залежні,
Загальний множник елементів будь-якого ряду визначника можна винести за знак визначника
Визначник не зміниться якщо до елементів одного ряду додати відповідні елементи паралельного ряду, помножені на будь-яке число
Зворотній матриця, алгоритм обчислення зворотної матриці.
Зворотній матриця - така квадратна матріцаX, яка разом з квадратною матрицею A того ж порядку, удовлевторяет умові :, гдеE - одинична матриця, того ж порядку що іA. Будь-яка квадратна матриця з визначником, не рівним нулю має 1 зворотну матрицю. Знаходиться за допомогою методу елементарних перетворень і за допомогою формули:
Поняття рангу матриці. Теорема про базисному мінорі. Критерій рівності нулю визначника матриці. Елементарні перетворення матриць. Обчислення рангу методом елементарних перетворень. Обчислення оберненої матриці методом елементарних перетворень.
Ранг матриці - порядок базисного мінору (rg A)
Базисний мінор - мінор порядкаr не дорівнює нулю, такий що все мінори порядку r + 1 і вище дорівнюють нулю або не існують.
Теорема про базисному мінорі - У довільній матриці А кожен стовпець
Доказ: Нехай в матріцеAразмеров m * n базисний мінор розташований в перших r рядках і перших r шпальтах. Розглянемо визначник, який отримано приписуванням до базисного мінору матриці А відповідних елементів s-го рядка і k-го стовпця.
Відзначимо, що при будь-яких іетот визначник дорівнює нулю. Есліілі, то определітельD містить дві однакових рядки або два однакових стовпця. Якщо жеі, то визначник D дорівнює нулю, так як є мінор (r + λ) -ro порядку. Розкладаючи визначник по останньому рядку, отримуємо :, де-алгебраїчні доповнення елементів останнього рядка. Зауважимо, що, так як це базисний мінор. Тому, гдеЗапісивая останню рівність для, отримуємо, тобто k-й стовпець (при будь-якому) є лінійна комбінація стовпців базисного мінору, що й треба було довести.
Критерій detA = 0 - Визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпці) лінійно залежні.
1) множення рядка на число, відмінне від нуля;
2) додаток до елементів одного рядка елементів іншого рядка;
3) перестановка рядків;
4) викреслювання однієї з однакових рядків (стовпців);
Обчислення рангу - З теореми про базисному мінорі слід, що ранг матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців в матриці), отже завдання елементарних перетворень знайти всі лінійно незалежні рядки (стовпці).
Обчислення зворотної матриці - - Перетворення можуть бути реалізовані множенням на матрицю A деякої матриці T, яка представляє собою добуток відповідних елементарних матриць: TA = E.
Це рівняння означає, що матриця перетворення T являє собою зворотну матрицю для матриці. Тогдаі, отже,