§ 1.03. Типи невозмущенного кеплеровского руху
З дитинства інтегралів площ (2.1.19) і інтегралів Лапласа (2.1.22) знаходимо
Рівняння (2.1.25) показує, що рух тіла Р відбувається в площині, що проходить через точку перпендикулярно до вектора моменту кількості руху. Оскільки рівняння (2.1.26) визначає поверхню другого порядку, то траєкторія тіла Р є крива другого порядку - конічний перетин.
1. Орбітальні координати. Візьмемо нову систему координат вісь якої спрямована по вектору Лапласа, вісь - по вектору моменту кількості руху, а вісь доповнює систему до правої. Тоді формули перетворення координат будуть мати вигляд
в силу чого рівняння (2.1.25) і (2.1.26) перетворюються до вигляду
Змінні називаються орбітальними координатами.
2. Рівняння орбіти в полярних координатах. нехай
Тоді з (2.1.27) знаходимо
Рівняння (2.1.29) є полярне рівняння конічного перетину, фокус якого знаходиться на початку координат (точки). Величина називається (фокальним) параметром конічного перетину, ексцентриситетом, полярний кут - істинної аномалією.
З рівняння (2.1.29) випливає, що мінімальне значення радіуса-вектора досягається при відповідна цьому значенню точка орбіти називається перицентра. У разі руху тіла відносно Сонця перицентр називають перигелієм, в разі руху тіла відносно Землі - перигеем і т. Д. Оскільки ця точка лежить на осі вектор Лапласа спрямований в перицентр орбіти. Для обмежених в просторі рухів при радіус-вектор досягає максимального значення. Відповідна йому точка орбіти називається апоцентром. У разі руху тіла відносно Сонця вона називається афелием, а в разі руху тіла відносно Землі - апогеєм. Пряма, що з'єднує апоцентр і перицентр, носить назву лінії апсид.
3. Класифікація орбіт в задачі двох тіл. З рівності (2.1.24) і (2.1.30) знаходимо формулу
зв'язує постійні а з інтеграла енергії маємо
де - значення радіуса-вектора і швидкості в початковий момент часу.
Залежно від початкових умов або постійних інтегрування матимемо такі типи орбіт:
а) еліптична орбіта
б) кругова орбіта
в) параболічна орбіта
г) гіперболічна орбіта
д) прямолінійна траєкторія
Умови (2.1.33) - (2.1.37) легко випливають з формул (2.1.29) - (2.1.32).
Слід зауважити, що при рух буде відбуватися по відрізку прямої, при - уздовж променя і, нарешті, при - уздовж всієї прямої. Таким чином, якщо то невозмущенное рух буде відбуватися в обмеженому просторі, а якщо то ми будемо мати необмежену в просторі рух.
4. Перша і друга космічні швидкості. Найменша початкова швидкість, яку потрібно повідомити тілу, щоб воно стало штучним супутником Землі (ШСЗ), називається першою космічною швидкістю. Вона дорівнює швидкості кругового руху (кругової швидкості) на даній висоті, т. Е.
де є твір постійною тяжіння на масу Землі (масою ШСЗ можна знехтувати), а -геоцентріческое відстань ШСЗ. На поверхні Землі перша космічна швидкість становить близько
Другою космічною швидкістю називається найменша початкова швидкість, яку потрібно повідомити тілу, щоб воно, почавши рух поблизу поверхні Землі, подолала земне тяжіння. Очевидно, вона дорівнює швидкості параболічного руху на даній висоті (параболічної швидкості)
Ця швидкість, так само як і змінюється з висотою. Будучи наведеної до поверхні Землі, вона становить близько