- група підстановок (G, X) така, що кожен елемент може бути переведений в будь-який елемент відповідним елементом т. е. Іншими словами, все безліч Xобразует єдину орбіту групи (G, X). Якщо ж число орбіт більше 1, то група (G, X) наз. інтранзітівной. Орбіти інтранзітівной групи іноді наз. її областями транзитивності. У інтранзітівной групи (G, X) з орбітами Xi
обмеження дії групи на X; транзитивно. Нехай Н - підгрупа в Gі нехай
- розкладання Gна праві суміжні класи по Н. Нехай, далі, Х =<Нх i>. Тоді дія (G, X) визначається умовою Ця дія транзитивно, і назад, всяке Транзитивне дію подібно до вищевказаного для відповідної підгрупи H в G.
Дія (G, X) наз. . раз транзитивним, якщо для будь-яких двох упорядкованих множин з kразлічних елементів (х 1. х k) і (у 1,. yk), існує такий елемент що для всіх i = l. k; інакше кажучи, (G, X) має лише однієї антирефлексивне k-орбітою. Для k-транзитивній група зв. кратнотранзітівной. Прикладом двічі транзитивних груп є групи цілих лінійних перетворень деякого поля К. Прикладом тричі транзитивних груп служать групи дрібно-лінійних перетворень проективної прямої над полем К, т. Е. Перетворень виду
Т. р (G, X) наз. строго k раз транзитивной, якщо лише тотожна підстановка може залишати на місці kразлічних елементів з Група цілих лінійних і група дрібно-лінійних перетворень є прикладами строго двічі і строго тричі транзитивних груп.
Кінцева симметрич. група Sn n раз транзитивна. Кінцева знакозмінна група А п (п-2) рази транзитивна. Ці дві серії кратно транзитивних груп вважаються тривіальними. Відомі ще дві 4 рази транзитивні групи М 11 і М 23 і дві 5 разів транзитивні групи M12 і М 24 (див. [3], а також Матьє група). Існує гіпотеза (1984), що за винятком цих чотирьох груп не існує нетривіальних kраз транзитивних груп для Ця гіпотеза доведена в припущенні, що вірна неодноразово анонсована класифікація кінцевих простих неабелевих груп [6]. Більш того, при зазначеному припущенні можна вважати закінченою класифікацію всіх кратно транзитивних груп.
Т. р визначаються також для дрібних. виду т + 1/2, m = 0, 1, 2. А саме, група (G, X) наз. 1/2 - транзитивной, якщо або | Х | = 1, або все орбіти групи (G, X) мають однакову довжину більшу 1. А для п> 1 група (G, X) п + 1/2 раз транзитивна, якщо фіксатор (Gx, X) п-1/2 раз транзітіва на X (див. [3]).
Літ. : [1] Кертіс Ч. Райнер І. Теорія уявлень кінцевих груп і асоціативних алгебр, пров. з англ. М. 1969; [2] Хол М. Теорія груп, пров. з англ. М. 1962; [3] Wiе1andt Н. Finite permutation groups, N. Y.- L. 1964; [4] Passman D. Permutation groups, N. Y.- Amst. 1968; [5] Higman D. G. Lecture on permutation representation, Giessen, 1977; [6] Cameron P. J. лBull. London Math. Soc. Математична енциклопедія. - М. Радянська енциклопедія І. М. Виноградов 1977-1985
Допомога пошукових систем