Ці слова є формами одного дієслова і мають право на існування в російській мові. Різниця їх полягає в правописі і питаннях, на які вони відповідають.
Тужиться - відповідає на питання «що робить?». Вжито слово в теперішньому часі. У питанні м'якого знака немає, значить і в слові його не буде.
Малюк сильно тужиться і крекче, і плаче.
Спортсмен робить зусилля, сильно тужиться і піднімає над головою штангу.
Старий кінь намагається, силкується, тужиться, а з місця зрушити не може.
Тужиться Ярема мізками, а згадати нічого не може.
Як же мені бідолашної по тобі, рідний, тужиться і горює.
Тужитися - слово відповідає на питання «що робити?», Є інфінітивом. У слові пишеться м'який знак, тому що він є в питанні.
Добре, мужики, тужитися треба, щоб хату поставити до зими.
З якою ж це силою треба було тужитися, щоб камінь-то з місця зрушити?
Ох, і буде нам з тобою, Алешенька, тужитися по рідній сторонушке.
Скільки завгодно будеш тужитися, аби навчитися грамоті.
неправильно
Тужится, тужіцца, тужітца.