Розглянемо функцію. певну і безперервну в прямокутнику До:
Визначення. Якщо для будь-якого і будь-яких двох значень і змінної:
. існує таке, що не залежить від х число. що виконано нерівність: (1), то говорять, що функція в області До задовольняє умові Ліпшиця зі сталою L.
1. Якщо в області До має безперервну приватну похідну. то завжди знайдеться таке L, що умова (1) буде виконано. Дійсно, тоді за формулою Лагранжа (2),
- лежить між і.
В силу безперервності в До і замкнутості регіоном, в До обмежена, тобто . де L - деяка константа. В цьому випадку, зокрема, за L можна прийняти.
2. Умова Ліпшиця (1) більш слабке, ніж існування приватної похідною. так як воно може бути виконано і в тому випадку, коли існує не всюди в К.
1. Визначити, чи задовольняє умові Ліпшиця функція задана в прямокутнику?
Отже, за L можна прийняти і умова Ліпшиця виконано. Той же результат отримаємо, якщо використаємо зауваження 1. Дійсно, функція має безперервну. тому за L можна прийняти.
Таким чином, задана функція задовольняє умові Ліпшиця в будь-якому кінцевому прямокутнику.
2. Те ж саме для функції.
Це означає, що в прямокутнику K умова виконана с.
Тут константа L не залежить від розмірів прямокутника, отже, умова Ліпшиця задовольняється на всій площині.
3. Те ж для функції
У той же час не існує при. тому