Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Для абстрактного зображення конкретних векторних величин ис-користуються вектори. Вектором (геометричним) називається направ-ний відрізок прямої. Два вектора називаються рівними, якщо вони сонаправлени і мають однакову довжину. Положення початкової точки таких векторів не має ніякого значення. Тому геометричні століття-тори називаються вільними.
При вивченні теми «Векторна алгебра» студенту слід обра-тить увагу на нижче розглянуті питання.
1. Лінійні операції над векторами (додавання, віднімання, множення на число).
Вектори необхідно вміти складати як за правилом трикутник-ка, так і за правилом паралелограма.
2. Лінійна комбінація векторів. Лінійна залежність і незалежність векторів. Базисні вектори. Декартов базис.
Приклад 1.2.1. Вказати при яких значеннях # 945; і # 946; можливо ра-венство
(A 0 = a / | a |, b 0 = b / | b |). Для вирішення наведеної задачі необхідно
розглянути можливе розташування векторів а і b:
Рис .1.2.1 Pис .1.2.2 Рис .1.2.3
a) вектори а і bсонаправлени (Рис. 1.2.1), тоді # 945; = - # 946; ;
b) вектори а і b мають протилежний зміст (ріс.1.2.2). В цьому випадку # 945; = # 946; ;
с) вектори а і b утворюють між собою кут # 966 ;. При цьому кут # 966; від-личен від 0 і π радіан (ріс.1.2.3). Наведене в умови дорівнює-ство можливо лише при # 945; = # 946; = 0.
Розглянутий приклад дає уявлення про лінійної залежності-сти і незалежності векторів (найважливіше положення теми «Векторна алгебра»).
Лінійною комбінацією п векторів хi (i = 1, n) називається сума добутків цих векторів на дійсні числа а i (i = 1, n), а саме
У розглянутому прикладі записана лінійна комбінація 2 х одиничних
Вектори хi (i = l, n) називаються лінійно-залежними, якщо їх чи-лінійного комбінація (1.2.1) дорівнює нулю, а серед коефіцієнтів ai (i = l, n) є хоча б один відмінний від нуля. На рис. 1. 2 .1-1. 2. 2 зображені два лінійно залежних вектори. Вони можуть бути располо-дружини на одній прямій, або на паралельних прямих.
Два вектора, розташовані на одній або на двох паралельних прямих, називаються колінеарними.
Умова коллинеарности векторів а = # 955; b. де # 955;ÎR. Якщо три вектори розташовані в одній або в паралельних
площинах, то вони називаються компланарними.
Компланарні вектори лінійно залежні. Необхідна і достатня умова - компланарності векторів:
Вектори xi (i = l, n) називаються лінійно-незалежними, якщо ра-венство нулю їх лінійної комбінації (1.2.1) можливо лише в тому випадку, коли коефіцієнти ai (i = l, n) одночасно рівні 0.
Випадок двох лінійно-незалежних векторів представлений на
Мал. 1.2.3 (лінійна комбінація # 945; а + # 946; b дорівнює нулю лише при одночасним-менном зверненні в нуль # 945; і # 946; ).
Приклад 1.2.2. Вектори а, b, з некомпланарних (лінійно неза-ми). Довести, що вектори m = a + 2b-c, п = За-b + з і р = а + 5b-Зс компланарність і знайти їх лінійну залежність.
Прирівняємо до нуля лінійну комбінацію векторів т, п, р (# 945; т + # 946; n + # 947; k = 0) і підставимо в рівність розкладання векторів т, п, р по векторах а, b, с.
Рівність нулю лінійної комбінації векторів а, b, з можливо лише в тому випадку, коли коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю. З цієї умови отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яку вирішимо методом Гаусса (приклад 1.1.11).
Коефіцієнти рівною нулю лінійної комбінації векторів т, п, р можуть бути відмінні від нуля, отже вектор, п, р лінійно залежні (компланарність). підставляючи # 945 ;, # 946 ;, # 947; в равенствo # 945; т + # 946; п + # 947; p = 0 і скорочуючи на С, отримаємо -2т + n + k = 0.
З поняттям лінійної незалежності векторів тісно пов'язане та-де фундаментальне поняття як базис.
Базисом на площині Q називається будь-яка впорядкована пара неколінеарних векторів, параллельниx площині Q. Будь вектор с,
паралельний площині Q, можна представити у вигляді з = # 945; а + # 946; b.
Базисом в тривимірному просторі називається будь-яка уперед-ченная трійка некомпланарних (лінійно-незалежних) векторів. Якщо а, b, с- базис в просторі, то будь-який вектор d простору можна єдиним чином розкласти по цьому базису за формулою:
Декартових базисом на площині (РМС 1.2.4) називаються два одиничних, взаємно-перпендикулярних вектора i і j (| i | = | j | = 1, i ^ j), які збігаються з позитивним напрямком осей ОХ і ОУ відповід-повідно.
Будь-вектор площини а може бути єдиним чином представлений у вигляді a = ax i + ay j, де числа аx і АY називаються координатами вектора а.
Декартових базисом в просторі (ріс.1.2.5.) Називаються три
одиничних взаємно вектора i, j, k, які збігаються з по-ложітельним напрямком осей OX, OY і OZ відповідно. Будь-який
вектор а може бути єдиним чином представлений у вигляді