На відміну від мистецтва чи техніки, краса в природі не створюється, а лише фіксується, виражається. Серед нескінченного розмаїття форм живої і неживої природи в достатку зустрічаються такі досконалі образи, чий вигляд незмінно привертає нашу увагу. До числа таких образів ставляться деякі кристали, багато рослин.
У конформной (кругової) симетрії головним перетворенням є інверсія щодо сфери. Для простоти візьмемо коло радіуса R з центром в точці O. Інверсія цього кола окреслюється таке перетворення симетрії, яке будь-яку точку P переводить в точку P ', що лежить на продовженні радіуса, що проходить через точку P на відстані від центру:
Конформная симетрія має великий спільністю. Всі відомі перетворення симетрії: дзеркальні відображення, повороти, паралельні зрушення є лише окремі випадки конформной симетрії.
Головна особливість конформного перетворення полягає в тому, що воно завжди зберігає кути фігури і сферу і завжди переходить в сферу іншого радіусу.
Відомо, що кристали певної речовини можуть мати самий різний вигляд, але кути між гранями завжди постійні.
Поміркуємо про дзеркальній симетрії. Легко встановити, що кожна симетрична пласка постать може бути з допомогою дзеркала сполучена самотужки собою. Гідно подиву, що такі складні фігури, як п'ятикутна зірка або рівносторонній п'ятикутник, теж симетричні. Як це випливає з числа осей, вони відрізняються саме високою симетрією. І навпаки: не так просто зрозуміти, чому така, здавалося б, правильна фігура, як скіс паралелограм, несиметрична. Спочатку представляється, що паралельно одній з його сторін могла б проходити вісь симетрії. Але варто подумки спробувати скористатися нею, як відразу переконуєшся, що це не так. Несиметрична і спіраль.
У той час як симетричні фігури повністю відповідають своєму відображенню, несиметричні відмінні від нього: з спіралі, що закручується справа наліво, в дзеркалі вийде спіраль, що закручується зліва направо.
Якщо ви помістіть літери перед дзеркалом, розташувавши його паралельно рядку, то помітите, що ті з них, які мають вісь симетрії проходить горизонтально, можна прочитати і в дзеркалі. А ось ті, які мають вісь розташована вертикально або відсутня зовсім, стають «нечитабельними».
Існують мови, в яких накреслення знаків спирається на наявність симетрії. Так, в китайській писемності ієрогліф означає саме справжню середину.
В архітектурі осі симетрії використовуються як засоби вираження архітектурного задуму. У техніці осі симетрії найбільш чітко позначаються там, де потрібно оцінити відхилення від нульового положення, наприклад на кермі вантажівки або на штурвали корабля.
Симетрія проявляється в різноманітних структурах і явищах неорганічного світу і живої природи. У світ неживої природи чарівність симетрії вносять кристали. Кожна снежінка- це маленький кристал замерзлої води. Форма сніжинок може бути дуже різноманітною, але всі вони мають симетрією - поворотною симетрією 6-го порядку і, крім того, дзеркальною симетрією.
А що таке кристал? Тверде тіло, що мають природну форму багатогранника. Характерна особливість того чи іншого речовини полягає в сталості кутів між відповідними гранями і ребрами для всіх образів кристалів одного і того ж речовини.
Гвинтові симетрія. У просторі існують тіла, що володіють гвинтовий симетрією, тобто поєднувані зі своїми початковою становищем після повороту на будь-якої кут навколо осі, доповненого зрушенням вздовж тієї ж осі. Якщо цей кут поділити на 360 градусів - раціональне число, то поворотна вісь виявляється також віссю переносу.