Математика ГЛАВА I
БЕЗЛІЧІ І ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ
Теорія множин - це фундамент математики як вищої, університетської, так і шкільної. Вона вивчає властивості множин, операції над множинами, дослідженням операцій над множинами займається «алгебра множин». Під цим терміном в сучасній математиці розуміють саме безліч з введеними в ньому операціями, що володіють певними властивостями.
Безліч і його елементи
Безліч можна уявити собі як сукупність (збори, клас) деяких предметів, об'єднаних за будь-якою ознакою.
З різними множинами людині доводилося мати справу в далекій давнині, коли, ще не існувало поняття «число». Часто в повсякденному житті виникала необхідність порівнювати чисельність різних сукупностей або об'єкти однієї і тієї ж сукупності в різний час. Наприклад, голів худоби стільки, скільки зарубок на дереві, або з пасовища повернулося стільки голів худоби, скільки пішло на пасовище.
Ми зараз теж часто використовуємо поняття безліч: кажучи «зграя» представляємо безліч птахів, «табун» - безліч коней, «стадо»-безліч корів, «отара» - безліч овець.
В математиці зручно розглядати геометричну фігуру як безліч точок, що володіють певними властивостями; рішення рівняння або нерівності - як безліч значень змінної, що задовольняють даному рівнянню або нерівності.
Теорія множин займається вивченням загальних властивостей множин, що не залежать від природи об'єктів, що утворюють ці безлічі.
Визначення. Предмети (об'єкти), з яких складено безліч, називають елементами множини.
Безлічі прийнято позначати великими латинськими літерами А. В. а його елементи малими латинськими буквами а. в. або який-небудь, однією буквою з індексом, наприклад, а1. А2. а3. Якщо а є елементом множини А. то символічно записують. читають «а належить множині А» або «а є елементом А». Якщо а не належить множині А. то символічно записують.
Саме поняття «безліч» наводить на думку, що кожне безліч повинно містити багато елементів. У повсякденному житті один предмет або сукупність двох предметів зазвичай не називають безліччю. Ніхто не говорить, що у людини безліч рук або ніг, хоча говорять про безліч волосся на голові або про безліч кровоносних судин.
В математиці ж для спільності міркувань зручно вважати безліччю сукупність будь-якого числа елементів. Розглядають множини, що містять тільки один елемент (одноелементні безліч), і навіть безліч, що не має жодного елемента.
Визначення. Безліч, що не містить елементів, називають порожнім і позначають символом Æ.
Безліч, число елементів якого може бути виражено деяким натуральним числом, називається кінцевим. Наприклад: безліч днів тижня.
Введення одноелементні множин і порожнього безлічі дозволяє, наприклад, стверджувати, що будь-яке рівняння має безліч рішень, число елементів останнього безлічі залежить від виду рівняння і області його завдання. Так, для рівняння 15х - 2 = 0 безліч раціональних коренів містить один елемент, для рівняння х + 10 = х - 9 безліч рішень порожньо.
Поняття множини значно полегшує вивчення різних властивостей численних об'єктів в будь-якій галузі знань. Неможливо вивчити або описати кожну живу істоту, що живе на Земній кулі. Але класифікація за ознаками, властивим безлічі тварин того чи іншого класу, дозволяє описати весь тваринний світ навіть у вузьких рамках підручника зоології. Неможливо було б вивчити властивості навіть плоских фігур, якщо не виділити властивості, властиві безлічі фігур даного типу.
Способи завдання множин
Безліч можна вважати заданим. якщо є спосіб, що дозволяє для будь-якого даного предмета вирішити, належить він цій множині або не належить.
Застосовується два основних способи завдання множин. Перший спосіб - перерахування всіх його елементів (в довільному порядку); другий спосіб - вказівка характеристичного властивості. тобто такої властивості, яким володіють всі елементи цієї множини і не володіє жоден предмет, який не є його елементом.
Наприклад, безліч А = а. с. d> задано перерахуванням всіх його елементів. Таке безліч позначається за допомогою фігурних дужок, в яких полягає перелік всіх елементів, розділених комами. Цілком очевидно, що перерахуванням всіх елементів можна задати тільки кінцеве безліч.
При завданні цим способом безлічі всіх двозначних чисел довелося б перераховувати 90 елементів, а для запису безлічі всіх тризначних чисел - 900 елементів. Для складання списку всіх людей, що населяють в даний момент нашу планету, треба було б досить багато часу. Складання списку натуральних чисел взагалі неможливо, так як він нескінченний. Ясно, що спосіб перерахування, навіть якщо знехтувати його незручністю в разі дуже великого числа елементів, можна застосувати не для всіх множин. Щоб задати конкретне безліч, треба вказати характеристичне властивість, яким володіють тільки елементи цієї множини.
Задамо, наприклад, безліч всіх простих чисел за допомогою наступного характеристичного властивості: цій множині належать ті і тільки ті натуральні числа, які діляться тільки на 1 і самі на себе.
Безліч елементів, заданих зазначенням характеристичного властивості, записують так: у фігурних дужках після позначення елемента безлічі будь-якій малій буквою латинського алфавіту ставиться двокрапка або вертикальна риса, а потім вказується характеристичне властивість.
Наприклад, запис А = х | x Î R і -7 <х <20> означає, що елементами множини А є всі дійсні числа, що задовольняють нерівності: -7 <х <20. Или, говоря о множестве В натуральных четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов и записываем так:
Для математики особливу роль грають безлічі, елементами яких є математичні об'єкти (числа, точки, рівняння, функції і т.д.).
Безлічі, елементами яких є числа, називаються числовими множинами. Для деяких числових множин прийняті спеціальні позначення:
N - безліч натуральних чисел;
N0 - безліч цілих невід'ємних чисел;
Z - безліч цілих чисел;
Q - безліч раціональних чисел;
R - безліч речових (дійсних) чисел.
Різні підмножини безлічі R можна зобразити на координатній прямій. Якщо а і b - різні дійсні числа
(а
Безліч дійсних чисел R позначається також
(- ¥, + ¥) і називається числової прямої. Будь-координатна пряма є зображенням числової прямої.
Відносини між множинами
Як в практичному житті, так і в теоретичних міркуваннях часто доводиться вибирати з декількох множин елементи і утворювати з них нові множини, встановлювати різні відносини між наявними множинами.
Особливий інтерес представляють відносини між множинами, що мають однакову природу елементів.
I. Ставлення несуворого включення.
Розглянемо приклад. Нехай А - безліч всіх учнів даного класу, В - безліч учнів цього класу, які встигають з усіх предметів.
З'ясуємо залежність між приналежністю одного і того ж елемента безлічам А і В.
Відомо, що х Î Питання: Чи можна стверджувати, що х Î А. (Так). Чи може бути, що х Î В. але х Ï А. (Ні, не може).
Зауважимо, що кожен елемент безлічі В є елементом множини А. У цьому випадку говорять, що В є підмножиною (частиною) безлічі А.
Визначення. Якщо кожен елемент множини В є елементом множини А. то безліч В називають підмножиною множини А. Позначається це так: У А. (Символ позначає відношення несуворого включення).
В цьому випадку говорять також, що безліч В включається в безліч А. або безліч А включає безліч В. а також, що безлічі А і В знаходяться у відношенні несуворого включення.
1) Безліч учнів деякого класу, хто вивчає англійську мову, є підмножиною множини всіх учнів цього класу;
2) Безліч книг з математики в деякій бібліотеці є підмножиною безлічі книг цієї бібліотеки;
3) Безліч прямокутників включається в безліч паралелограмів.
Щоб наочно зображати безлічі і відносини між множинами малюють геометричні фігури, які знаходяться між собою в цих відносинах.
Зображення множин за допомогою множин точок площині, обмежених замкнутими кривими, називається діаграмою Ейлера-Венна [1]. На рис. 1 дана діаграма Ейлера-Венна для випадку, коли
ВА.
Властивості відносини несуворого включення.
1 °. Будь-яке безліч А є підмножина самого себе тобто для всякого А вірно А А.
2 °. Для будь-яких множин А. В. С. якщо А В і В С. то А С. Очевидно, що частина частини даного безлічі завжди є його частиною.
3 °. Порожня множина вважається підмножиною будь-якої множини А:
II. Ставлення рівності.
Ставлення рівності є окремим випадком несуворого включення.
Визначення. Безлічі А і В. складаються з одних і тих же елементів, називають рівними.
Рівність множин позначають так: А = В. З визначення рівності множин випливає, що важливий лише склад безлічі, і не суттєвий порядок проходження елементів множини.
Ці безлічі рівні, т. К. Вони складаються з чисел 1, 4, 9, 16.
2) А - безліч ромбів з прямими кутами;
В - безліч квадратів. А = В.
Рівність множин характеризується трьома властивостями (цими властивостями володіє і ставлення рівності чисел).
1 °. Для будь-якого безлічі А справедливо А = А.
2 °. Для будь-яких двох множин А, В. якщо А = В. то В = А.
Зауважимо, що очевидно А = В тоді і тільки тоді, коли і.
III. Ставлення суворого включення.
Якщо по відношенню до «безліч В є підмножиною множини А» () хочуть підкреслити, що А містить і інші елементи, крім елементів з В. то кажуть, що В строго включено в А чи є правильною частиною безлічі А.
Визначення. Якщо кожен елемент множини В є елементом множини А. і в А існує хоча б один елемент не належить множині В. то безліч В строго включається в безліч А. Позначається.
Безліч В в цьому випадку називається власним підмножиною множини А. тобто якщо і .