180. Отже, якщо маємо 2 відрізка y і x, то можна скласти рівняння, що зв'язує ці два відрізки, в вигляді (п. 168)
y / x = k або y = kx,
де k є число раціональне або ірраціональне.
Зупинимося тепер на другий формі цього рівняння, т. Е. Y = kx.
Приймемо відрізок x за одиницю, т. Е. Покладемо, що x = 1; тоді з попереднього рівняння отримаємо y = k, т. е. якщо відрізок x оцінити числом 1, то відрізок y виразиться числом k. Тому рівняння y = kx розуміють так:
Ми виміряли відрізок y, беручи за одиницю відрізок x, причому в результаті цього вимірювання вийшло число k.
1) Довжина кімнати = 8 ½ аршин,
т. е. ми виміряли прямолінійний відрізок, званий «завдовжки кімнати», приймаючи відрізок, званий «аршином», за одиницю, і отримали в результаті число 8 ½.
2) Зростання цієї людини 13/16 сажні,
т. е. ми виміряли прямолінійний відрізок, що виражає зростання цієї людини, беручи за одиницю сажень, і отримали число 13/16.
3) Відрізок A = 0,377 відрізка B,
т. е. ми виміряли відрізок A, приймаючи за одиницю відрізок B, і отримали число 0,377.
Той відрізок, який приймається за одиницю, називається лінійної одиниця: в 1-му прикладі лінійної одиниця служить аршин, у 2-му - сажень, в 3-му - відрізок B.
Слід зауважити, що всі попередні рівності можуть бути дані і в іншій формі:
1) довжина кімнати / аршин = 8 ½;
2) зростання цієї людини / сажень = 13/16;
3) відрізок A / відрізок B = 0,377,
т. е. «відношення довжини кімнати до аршину = числу 8½,« ставлення зростання цієї людини до сажні = числу 13/16 »,« ставлення відрізка A до відрізка B = числу 0,377 ».
Таким чином, завдання «виміряти відрізок A, приймаючи відрізок B за одиницю», збігається з задачею «знайти відношення відрізка A до відрізка B».
181. Будь-які два відрізки y і x можна пов'язати рівнянням
де k якесь число ціле, дробове або ірраціональне. Іншими словами: всякий відрізок може бути виміряний, приймаючи будь-якої іншої відрізок за лінійну одиницю, причому в результаті вимірювання вийде число ціле, дробове або ірраціональне.
Якщо число k виявиться раціональним (цілим або дробовим), то попереднє рівняння y = kx вкаже нам, як можна з лінійної одиниці x отримати вимірюваний відрізок y (напр. Якщо y = 3/7 x, то для отримання y треба лінійну одиницю x розділити на 7 рівних частин і взяти 3 таких частини).
Якщо число k виявиться ірраціональним, то рівняння y = kx таких вказівок нам дати не може: адже для нас ірраціональне число і визначено лише, як відношення двох несумірних відрізків (п. 168). У виняткових лише випадках можливо, що це ірраціональне число виявиться будь-яким іншим символом, напр. √2; тоді ця обставина може нам допомогти отримати відрізок y, виконуючи деякі побудови над відрізком x.
Тому вдаються до наближеного виміру. В пп. 170 і 172 ми навчилися дізнаватися наближені значення відносини двох відрізків: в п. 170 ми для цієї мети користувалися умінням ділити відрізок на рівні частини, а в п. 172 обійшлися без цього вміння, причому, проте, в п. 170 ми могли знайти наближене значення з якою завгодно, наперед заданого, точністю, а в п. 172 ми вказали, що це було б можливо лише при знанні теорії безперервних дробів.
Тепер нам доведеться звернутися до п. 170 з метою витлумачити в іншій формі отримані там результати.
Відновимо чер. 185 і поставимо задачу: виміряти відрізок AB з точністю до 1/5, приймаючи відрізок CD за лінійну одиницю, причому будемо вважати, що AB і CD несумірні. Ми отримали в п. 170 два відрізки AK і AL, які обидва порівнянні з лінійної одиниця CD, причому AK = 8/5 CD і AL = 9/5 CD. Так як AK
8/5 CD Іноді те ж саме записують у вигляді: AB = прибл. 8/5 CD (з недостатньо.), Або 9/5 CD (з хат.). [Пояснення. Якщо замість відрізка AB взяти відрізок AK = 8/5 CD, то тут чогось «бракує» порівняно з відрізком AB; тому в дужках пишемо «з недоліком». Якщо замість AB взяти відрізок AL = 9/5 CD, то тут є «надлишок» порівняно з відрізком AB; тому в дужках пишемо «з надлишком».] Вважаючи відрізок AB рівним 8/5 CD, або 9/5 CD, ми в обох випадках робимо помилку, меншу 1/5 CD. Тому ми говоримо, що виміряли відрізок AB з точністю до 1/5 лінійної одиниці CD. Також точно могли б виміряти відрізок AB Лінійні одиниці CD з точністю до 1/10 CD. Напр. могли б отримати 17/10 CD або AB = прибл. 17/10 CD (з недостатньо.) Або 18/10 CD (з ізбиті.). 17/10 182. Ми можемо попередню задачу вирішити в загальному вигляді: виміряти відрізок AB Лінійні одиниці CD з точністю до 1 / n CD. Розділимо CD (чер. 193) на n рівних частин і станемо ці частини укладати на відрізку AB; нехай їх вклалося m із залишком KB, причому KB <1/n CD (всегда можно дойти до такой точки K — в этом состоит аксиома Архимеда. Отрезок AK = m/n CD, но он меньше отрезка AB, причем разность этих отрезков меньше 1/n CD; Поэтому мы можем принять, что AB = прибл. m / n CD (з недостатньо.). Якщо відкласти від точки K ще один раз n-ую частина одиниці CD, то перейдемо за точку B і отримаємо відрізок = (m + 1) / n CD, який більше відрізка AB на відрізок, менший 1 / n CD. Тому знову маємо: AB = прибл. (M + 1) / n CD (з надлишком.). Теж саме можна записати у вигляді нерівностей: m / n CD Зауважимо, що на практиці застосовують викладений тут спосіб наближеного вимірювання до всяких відрізках, не розбираючи питання, порівняємо чи відомих відрізок з лінійної одиниця чи ні. 183. В п. 172, знаходячи наближені значення, відносини відрізків AB і CD (чер. 186) без вміння ділити відрізок на рівні частини, ми писали: AB = (прибл.) 19/5 CD, т. е. і тут ми вимірювали наближено відрізок AB Лінійні одиниці CD, хоча і не знали, з кокой саме точністю це виконували. Слід, однак, звернути увагу на п. 172, так як з нього видно, що для вимірювання одного відрізка іншим, або для знаходження відношення двох відрізків, вміння ділити відрізок на рівні частини зовсім не настільки необхідно, як це могло здатися з першого погляду. 184. Звертаючись до пп. 165 і 172, ми можемо з'ясувати ті властивості відрізків, які необхідні для того, щоб знаходити відношення двох відрізків, або, іншими словами, щоб вичавити відрізки числами, приймаючи певних відрізок за одиницю. Необхідно перш за все вміння відкладати один відрізок на іншому, причому необхідно вміти розрізняти, коли один відрізок рівний іншому або більше іншого або, нарешті, менше іншого (адже весь час в п. 165 і в п. 172 доводилося відкладати на одному відрізку частини, рівні іншому відрізку, і про отриманому залишку встановити, що він менше відкладали відрізка). Потім нам доводилося, наприклад, в п. 165, писати рівності на кшталт або, більш докладно: Писати подібні рівності ми можемо лише за умови знання, що означає скласти два відрізки. Отже, треба ще знати, що значить скласти два відрізки, причому має бути встановлено, що можна знайти суму всяких двох відрізків. Всі перераховані знання щодо відрізків викладені в самому початку курсу геометрії. Так як, наступні пп. 165 і 172, ми побачимо, що інших знань щодо відрізків не потрібно, то ми можемо встановити, що відомості, дані в пп. 8-10, про відрізки достатні для вміння знаходити відношення будь-якої пари відрізків. Уміння ділити відрізок на рівні частини, яким ми користувалися в п. 182, несуттєво, - це видно з п. 172. Якщо маємо сукупність предметів, причому 1) для кожних двох предметів цієї сукупності можна встановити, чи рівні вони, або один з них більше іншого і 2) можна встановити поняття про суму двох предметів цієї сукупності (а, отже, і про їх різниці) * , то говорять, що цю сукупність предметів можна розглядати, як систему величин. (* Всякі два предмета цієї сукупності повинні мати суму.) Сукупність прямолінійних відрізків можна розглядати, як систему величин. Кожен окремих відрізок є значенням цієї системи величин. Кожне значення системи величин може бути виражено числом, приймаючи інше її певне значення за одиницю (кожен прямолінійних відрізок може бути виражений числом, приймаючи за одиницю певний відрізок). Властивості прямолінійних відрізків, що дозволяють їх сукупність вважати системою величин, виражають словами: всякий прямолінійний відрізок має довжину. На практиці для вимірювання відрізків вживаються раз назавжди вибрані одиниці, звані лінійними одиницями. Ось найбільш уживані лінійні одиниці: сажень, аршин, вершок, верста, фут, дюйм, метр, кілометр, сантиметр. На практиці не розрізняють, порівняємо чи ні даний відрізок з одиниці, а завжди вимірюють з якою-небудь точністю. Наприклад, якщо відрізок накреслений на папері, то до нього прикладають лінійку, на якій нанесені, наприклад, дюйми, розділені на 10 рівних частин кожен, і дивляться, скільки цілих дюймів і десятих часток дюйма укладається на даному відрізку, нехтуючи залишком менше половини десятої частки дюйма, або вважаючи його за цілу десяту частку дюйма, якщо він більше половини його. 185. Вправи. 1. Дано два відрізки AB і CD. Знайти AB / CD, вважаючи, що ці відрізки порівнянні; знайти потім CD / AB (або: виміряти відрізок AB, приймаючи CD за лінійну одиницю і, навпаки, виміряти CD, приймаючи AB за одиницю). 2. Дано 2 відрізка. Знайти наближене значення їх відносини, приймаючи, що третій залишок при знаходженні їх загальної міри можна прийняти за їх загальну міру. 3. Дано 2 (несумірних) відрізка. Знайти їх ставлення з точністю до 1/8; потім знайти з тою ж точністю їх зворотне відношення (виміряти з точністю до 1/8 перший відрізок, приймаючи другий за одиницю, і, назад, виміряти з тою ж точністю другий відрізок, приймаючи перший за одиницю).
У п. 170 є відповідні записи про ставлення AB / CD, а саме:
Схожі статті