Теорія ймовірностей - математична наука, що вивчає закономірності масових випадкових явищ (подій).
Випадковою подією (або просто подією) називається будь-яке явище, яке може відбутися або не відбутися під час здійснення певної сукупності умов. Теорія ймовірностей має справу з такими подіями, які мають масовий характер. Це означає, що дана сукупність умов може бути відтворена необмежену кількість разів. Кожне таке здійснення даної сукупності умов називають випробуванням (або досвідом).
Якщо, наприклад, випробування полягає в киданні монети, то випадання герба є подією; якщо випробування - виготовлення підшипника даного типу, то відповідність підшипника стандарту - подія; якщо випробування - кидання грального кубика, т. е. кубика, на гранях якого проставлені цифри (окуляри) від 1 до 6, to випадання п'ятірки - подія.
Події будемо позначати великими літерами латинського алфавіту: A. В. С.
Нехай при n випробуваннях подія A з'явилося m раз.
Ставлення m / n називається частотою (відносної частотою) події A і позначається Р * (А) = m / n
Досвід показує, що при багаторазовому повторенні випробувань частота Р * (А) випадкової події має стійкість. Пояснимо це на прикладі.
Подія називається достовірною. якщо воно в даному досвіді обов'язково повинно статися; навпаки, подія називається неможливим. якщо воно в даному досвіді не може відбутися.
Нехай, наприклад, з урни, що містить тільки чорні кулі, виймають кулю. Тоді поява чорного кулі - достовірна подія; поява білої кулі - неможлива подія.
Якщо подія достовірно, то воно станеться при кожному випробуванні (m = n). Тому частота достовірного події завжди дорівнює одиниці. Навпаки, якщо подія неможливо, то воно ні при одному випробуванні здійсниться (m = 0). Отже, частота неможливого події в будь-який серії випробувань дорівнює нулю. Тому ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, а ймовірність неможливого події дорівнює нулю.
Якщо подія A не є ні достовірним, ні неможливим, то його частота m / n при великому числі випробувань буде мало відрізнятися від деякого числа p (де 0
Суміщенням (або твором) двох подій A і В називається подія, яке у спільному наступі як події A. так і події В. Ця подія будемо позначати АВ або ВА.
Аналогічно, суміщенням декількох подій, наприклад A. В і С. називається подія D = ABC. яке у спільному наступі подій A. В і С.
Об'єднанням (або сумою) двох подій A і В називається подія С. полягає в тому, що станеться принаймні одна з подій A або В. Ця подія позначається так: С = А + В.
Об'єднанням декількох подій називається подія, яке у появу принаймні одного з них. Запис D = A + B + C означає, що подія D є об'єднання подій A. В і С.
Дві події A і В називаються несумісними, якщо настання події A виключає настання події В. Звідси випливає, що якщо події A і В несумісні, то подія AB - неможливе.
Розглянемо наступний приклад. Будемо стежити за рухом якої-небудь певної молекули газу, укладеного в певний обсяг. Усередині цього обсягу виділимо обсяги і. частково перекривають одна одну (рис. 1). Нехай подія A - потрапляння молекули в обсяг. подія В - потрапляння молекули в обсяг. Поєднанням подій A і В є потрапляння молекули в загальну частину обсягів і. Якщо обсяги і не мають спільних точок, то ясно, що події A і В несумісні. Об'єднанням подій A і В є потрапляння молекули або тільки в обсяг або тільки в обсяг. або ж в їх загальну частину.