Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
При визначенні прогинів і кутів повороту для балок зі змінним перетином слід мати на увазі, що жорсткість такої балки є функцією від х. Тому диференціальне рівняння зігнутої осі набуває вигляду
де J (x) - змінний момент інерції перетинів балки.
До інтегрування цього рівняння можна виразити J (x) належної підстановкою через J. т. Е. Через момент інерції того; перетину, де діє; після цього обчислення проводяться так само, як і.для балок постійного перерізу.
Покажемо це на прикладі, розібраному вище. Визначимо прогин балки рівного опору, затисненої одним кінцем, навантаженої на іншому кінці силою Р і має постійну висоту. Початок координат виберемо на вільному кінці балки.
Диференціальне рівняння набуває вигляду:
Інтегруємо два рази:
Для визначення постійних інтегрування маємо умови: точці А при прогин і кут повороту або
Вирази для у і приймають вид;
Найбільший прогин на вільному кінці балки У вийде при. він дорівнює
Якби ми всю балку зробили постійного перетину з моментом інерції J. то найбільший прогин був би
т. е. в 1 рази менше.
Таким чином, балки змінного перерізу мають більшу гнучкість у порівнянні з балками постійної жорсткості при однаковій з ними міцності. Саме тому, а не тільки заради економії матеріалу, вони і застосовуються в таких конструкціях, як ресори.
Лекція № 31. Розрахунок балки на пружній основі.
До числа статично невизначених балок може бути віднесена балка на пружній основі. Так називається балка, яка спирається по всій своїй довжині (Рис.1) на пружне підставу, яке надає в кожній точці на балку реакцію, пропорційну у - прогину балки в цій точці. Коефіцієнт пропорційності позначається буквою k.
Введення припущення про пропорційність реакцій прогину є наближенням, хоча і досить близьким до дійсних умов.
Рис.1. Розрахункова схема балки на пружній основі.
Пропозиція ввести в розрахунок коефіцієнт пропорційності к. Іменований «коефіцієнтом ліжку», було вперше зроблено російським академіком Миколою Івановичем Фуссах в 1801 році. Беручи це припущення, отримуємо, що інтенсивність реакції підстави в кожній точці сила дорівнює ky і вимірюється в одиницях сили і довжини; розмірність коефіцієнта k при цьому буде сила і квадрат довжини. Будемо вважати, що підстава надає реакцію при прогинах балки як вниз, так і вгору.
На практиці завдання про розрахунок балки на пружній основі зустрічаються в залізничному справі (рейок, шпала), в будівництві - фундаменти різних споруд, що передають навантаження на грунт.
Статично невизначеної така балка буде тому, що умова статікі- сума навантажень дорівнює всій реакції підстави - не дає можливості встановити розподіл цієї реакції по довжині балки, а значить, обчислити згинальні моменти і поперечні сили.
Інтенсивність реакції в кожній точці пов'язана з прогинами балки. Тому для вирішення завдання необхідно знайти спочатку рівняння зігнутої осі. а вже потім формули для обчислення згинального моменту і поперечної сили. Хід рішення виявляється зворотним звичайному.
Знайдемо рівняння зігнутої осі для балки постійного перетину, що лежить на пружній основі та навантаженої зосередженими силами. (Рис.1). Початок координат візьмемо в будь-якій точці, вісь х направимо вправо, вісь у вертикально вгору. Напрямок навантажень вгору будемо вважати позитивним. Напишемо звичайне диференціальне рівняння вигину
Так як М (х) нам невідомий, то постараємося пов'язати прогини безпосередньо з навантаженням, для цього диференціюючи двічі попереднє рівняння:
де q (x) - інтенсивність суцільний навантаження, що діє на балку в перерізі з абсцисою х.
Суцільний навантаженням для нашої балки є лише реакція пружної основи. Інтенсивність їй пропорційна прогину; це навантаження спрямована вгору. т. е. позитивна. коли прогини йдуть вниз. т. е. негативні, і навпаки. Таким чином, це навантаження має знак, зворотний знаку прогинів: