Нехай простір фінітних функцій.
Опр. Лін. непрерив. функціонал на просторі будемо наз-ть узагальненої функцією (на числовій осі).
Безліч всіх узагальнених функцій, в силу даного вище визначення, утворює поєднане безліч до простору фінітних функцій.
Якщо - узагальнена функція і. то число називають значенням узагальненої функції f на финитной функції x.
Відзначимо, що часто замість в математичній літературі застосовуються позначення
Для того щоб лінійний функціонал на просторі D був би узагальнений функцією, необхідно і достатньо виконання однієї з таких умов:
1. Для будь-якій послідовності () сходящейся до нуля в просторі D числова послідовність () сходиться до нуля.
2. Функціонал обмежений.
3. Для будь-якого натурального числа n функціонал безперервний на просторі. тобто виконується така умова:
. Якщо в умові (3) взяти m, яке залежить від n. що еквівалентно умові. то функціонал f наз-ся узагальненої функцією кінцевого порядку сингулярності. причому найменше m. при якому виконується (2), наз-ся порядком сингулярності узагальненої функції f. Узагальнені функції, які не є узагальненими функціями кінцевого порядку сингулярності, наз-т узагальненими функціями нескінченного порядку сингулярності.
Функція, визначена на числової осі, буде наз-ся звичайної, якщо вона інтегрована по Лебегу на будь-якому кінцевому інтервалі числової осі.
Нехай f- звичайна функція. Порівняємо їй функціонал на просторі D за такою формулою: () (3).
Так як f- звичайна функція, а функція x ФІНІТНОГО, то інтеграл в правій частині рівності (3) існує і кінцевий.
Лінійність функціоналу випливає з лінійності інтеграла.
Доведемо, що функціонал неперервний. Нехай. З визначального рівності (3) маємо. де заради стислості введено позначення.
З получ. нерав-ва слід, що -обобщ. ф-ція нульового порядку сінгулярності.Т.о. кожної нормальної функції ми зіставили узагальнену функцію, причому нульового порядку сингулярності. Такі узагальнений функції називають регулярними. У цьому випадку говорять, що регулярна узагальнена функція породжена звичайною функцією f. Узагальнені функції, які не є регулярними, наз-ся сингулярними узагальненими функціями.
Приклади не регулярних узагальнених функцій:
1. -функція. Узагальнена функція. звана дельта-функцією, або дельта-функцією Дірака, яка визначається рівністю
2. Зміщена -функція. Зафіксуємо і визначимо узагальнену функцію. узагальнена називається зміщеною -функцією.
3. Узагальнена функція. Функція явл-ся звичайною функцією, так як вона не інтегрована в околиці нуля. Однак можна визначити узагальнену функцію, що позначається. наступним чином: де v.p.- означає головне значення в сенсі Коші розглянути-го інтеграла.
4. Узагальнена функція
5. Узагальнена функція