Визначником матриці 3-го порядку називається число, яке обчислюється за формулою:
.
Дана формула отримала назву правила трикутників або правило Сарруса.
При обчисленні визначника 3-го порядку зручно користуватися наступною схемою, яка б показала твори яких елементів беруться зі знаком "+", а будь зі знаком "-":
4. Властивості визначника 3-го порядку, що випливають з прийнятого правила його обчислення. Обчислення визначника 3-го порядку розкладанням по стовпцю (рядку).
а) Властивість 1. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) визначника 3-го порядку дорівнюють нулю, то і визначник дорівнює нулю.
Властивість 2. Визначник 3-го порядку не зміниться, якщо його рядки замінити стовпчиками з тими ж номерами.
Властивість 3. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпці) визначника 3-го порядку, то обсолютная величина визначника не зміниться, а знак зміниться на протилежний.
Слідство. Визначник 3-го порядку, в якому будь-яких два рядки (стовпці) збігаються, дорівнює нулю.
Властивість 4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) визначника 3-го порядку помножити на якесь число, то і визначник множиться на це число.
Слідство 1. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) мають загальний множник, то цей множник можна винести за знак визначника.
Наслідок 2. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) визначника 3-го порядку пропорційні відповідним елементам іншого рядка (стовпця) цього визначника, то визначник дорівнює нулю.
Властивість 5. Якщо кожен елемент якого-небудь рядка (стовпчика) визначника 3-го порядку є сумою двох доданків, то і визначник можна представити у вигляді суми двох доданків, наприклад:
б) Якщо D = | A | - визначник порядку n, то мінор Mij елемента аij називають визначник порядку n-1, що виходить з D викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця. Під алгебраїчним доповненням Aij елемента аij розуміють мінор Mij. домноженний на (-1) i + j. тобто Aij = (-1) i + j Mij
Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими має вигляд
складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи.
1. Якщо визначник системи. то система (7) має рішення, і до того ж єдине. Це рішення знаходиться за формулами
З цього робимо висновок, що значення невідомого системи (7) дорівнює дробу, знаменник якого є визначник системи, а чисельник є визначник, що виходить з визначника системи заміною в ньому стовпця з коефіцієнтів при визначеному невідомому стовпцем вільних членів.
Визначники, що стоять в чисельнику дробів (9), будемо позначати відповідно через Dx. Dy. Dz.
2. Якщо D = 0, але, по крайней мере, один з його миноров і хоча б один з визначників Dx. Dy і Dz не дорівнює нулю, то система (7) рішень не має. У цьому випадку говорять, що вона суперечлива, або несумісна.
3. Якщо D = 0 і все визначники, що стоять в чисельнику дробів (9), - Dx. Dy. Dz - дорівнюють нулю, т. Е. Якщо
але хоча б один з мінорів в визначнику D не дорівнює нулю, то одне рівняння системи (7) є наслідком двох інших, і система трьох рівнянь (9) наводиться до двох рівнянь, причому рішення цих двох рівнянь задовольняють третьому. В цьому випадку система (9) має безліч рішень і називається невизначеною.
4. Якщо ж все мінори в визначнику D дорівнюють нулю, але хоча б один з мінорів в якомусь з визначників Dx, Dy, Dz не дорівнює нулю і хоча б один з коефіцієнтів при невідомих не дорівнює нулю, то система несумісна і рішень не має.
5. Якщо в визначниках D, Dx, Dy, Dz все мінори дорівнюють нулю, але хоча б один з коефіцієнтів при невідомих нулю не дорівнює, то два рівняння системи є наслідком третього, і система трьох рівнянь приводиться до одного рівняння, є невизначеною і має безліч рішень, причому рішення цього третього рівняння задовольняють першому і другому рівняннях.
7. Нехай дана квадратна таблиця, що складається з чисел, розташованих в n горизонтальних і в nвертікальних рядах. За допомогою цих чисел за певними правилами обчислюють деяке число, яке називають визначником n-го порядку і позначають у такий спосіб:
Горизонтальні ряди в визначнику (1) називають рядками, вертикальні - стовпцями, числа -елементом визначника (перший індекс означає номер рядка, другий - номер стовпця, на перетині яких стоїть елемент; i = 1, 2. n; j = 1, 2. n). Порядок визначника - це число його рядків і стовпців.
ВЛАСТИВІСТЬ 1. Величина визначника не зміниться, якщо всі його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок замінити стовпцем з тим же номером, тобто
ВЛАСТИВІСТЬ 2. Перестановка двох стовпців або двох рядків визначника рівносильна множенню його на -1. наприклад,
ВЛАСТИВІСТЬ 3. Якщо визначник має два однакових шпальти чи два однакові рядки, то він дорівнює нулю.
ВЛАСТИВІСТЬ 4. Множення всіх елементів одного стовпця або одного рядка визначника на будь-яке число k рівносильно множенню визначника на це число k. наприклад,
ВЛАСТИВІСТЬ 5. Якщо всі елементи деякого стовпця або деякої рядка дорівнюють нулю, то сам визначник дорівнює нулю. Це властивість є приватний разі попереднього (при k = 0).
ВЛАСТИВІСТЬ 6. Якщо відповідні елементи двох стовпців або двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
ВЛАСТИВІСТЬ 7. Якщо кожен елемент n-го стовпця або n-го рядка визначника є сумою двох доданків, то визначник може бути представлений у вигляді суми двох визначників, з яких один в n-м стовпці або відповідно в n-му рядку має перші зі згаданих доданків, а інший - другі; елементи, що стоять на інших місцях, у віх трьох визначників одні й ті ж. наприклад,
ВЛАСТИВІСТЬ 8. Якщо до елементів деякого стовпця (або деякої рядка) додати відповідні елементи іншого шпальти (або іншого рядка), помножені на будь-який загальний множник, то величина визначника при цьому не зміниться. наприклад,
Подальші властивості визначників пов'язані з поняттям алгебраїчного доповнення та мінору. Мінором деякого елемента називається визначник, отриманий із даного шляхом викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких розташований цей елемент.
Алгебраїчне доповнення будь-якого елементу визначника дорівнює мінору цього елемента, взятому зі своїм знаком, якщо сума номерів рядка і стовпця, на перетині яких розташований елемент, є число парне, і з протилежним знаком, якщо це число непарне.
Алгебраїчне доповнення елемента ми будемо позначати великими літерами того ж найменування і тим же номером, що і буква, кторой позначений сам елемент.
ВЛАСТИВІСТЬ 9. Визначник
дорівнює сумі добутків елементів будь-якого стовпця (або рядка) на їх алгебраїчні доповнення.
Інакше кажучи, мають місце такі рівності: