Визначення: Твором матриць називається матриця, елементи якої можуть бути обчислені за наступними формулами:
.
З наведеного визначення видно, що операція множення матриць визначена тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другої.
1) Множення матриці не коммутативно, тобто АВ ¹ ВА навіть якщо визначені обидва твори. Однак, якщо для будь - яких матриць співвідношення АВ = ВА виконується, то такі матриці називаються перестановки.
Найхарактернішим прикладом може служити єдині чная матриця, яка є перестановною з будь-якою іншою матрицею того ж розміру.
Перестановки можуть бути тільки квадратні матриці одного і того ж порядку.
А × Е = Е × А = А
Очевидно, що для будь-яких матриць виконуються наступне властивість:
A × O = O; O × A = O,
де О - нульова матриця.
2) Операція множення матриць асоціативна, тобто якщо визначено твори АВ і (АВ) С, то визначені ВС і А (ВС), і виконується рівність:
3) Операція множення матриць дистрибутивну по відношенню до додавання, тобто якщо мають зміст виразу А (В + С) і (А + В) С, то відповідно:
4) Якщо твір АВ визначено, то для будь-якого числа a правильне співвідношення:
5) Якщо визначено твір АВ, то визначено твір В Т А Т і виконується рівність:
(АВ) Т = В Т А Т. де
індексом Т позначається транспонована матриця.
6) Зауважимо також, що для будь-яких квадратних матриць det (AB) = detA × detB.
Поняття det (визначник, детермінант) буде розглянуто нижче.
Визначення. Матрицю В називають транспонованою матрицею А, а перехід від А до В Транспонированием, якщо елементи кожного рядка матриці А записати в такому самому порядку в стовпці матриці В.
;
Як слідства з попереднього властивості (5) можна записати, що:
(ABC) T = C T B T A T.
за умови, що визначено твір матриць АВС.
Значення визначника: -10 + 6 - 40 = -44.
Як було сказано виш е, мінор матриці порядку s називається визначник матриці, утвореної з елементів вихідної матриці, що знаходяться на перетині будь - яких обраних s рядків і s стовпців.
Визначення. У матриці порядку m'n мінор порядку r називається базисним, якщо він не дорівнює нулю, а все мінори порядку r + 1 і вище дорівнюють нулю, або не існує зовсім, тобто r збігається з меншим з чисел m або n.
Стовпці і рядки матриці, на яких стоїть базисний мінор, також називаються базисними.
У матриці може бути кілька різних базисних мінорів, що мають однаковий порядок.
Визначення. Порядок базисного мінору матриці називається рангом матриці і позначається Rg А.
Дуже важливою властивістю елементарні х перетворень матриць є те, що вони не змінюють ранг матриці.
Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
Треба відзначити, що рівні матриці і евівалентние матриці - поняття абсолютно різні.
Теорема. Найбільше число лінійно незалежних стовпців в матриці дорівнює числу лінійно незалежних рядків.
Оскільки елементарні перетворення не змінюють ранг матриці, то можна істотно спростити процес знаходження рангу матриці.
Приклад. Визначити ранг матриці.
,
=
Разом рішення системи: x = 1; y = 2; z = 3.
Незважаючи на обмеження можливості застосування даного методу і складність обчислень при великих значеннях коефіцієнтів, а також систем високого порядку, метод може бути легко реалізований на ЕОМ.
Даний метод також застосуємо тільки в разі систем лінійних рівнянь, де число змінних збігається з числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне рівняння не було б лінійною комбінацією інших.
Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0. det A ¹ 0;
Дійсно, якщо будь-яке рівняння системи є лінійна комбінація інших, то якщо до елементів будь-якої рядки додати елементи іншого, помножені на будь-яке число, за допомогою лінійних перетворень можна отримати нульову рядок. Визначник в цьому випадку буде дорівнює нулю.
Теорема. Система з n рівнянь з n невідомими
в разі, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдине рішення і це рішення знаходиться за формулами:
D = det A, а Di - визначник матриці, одержуваної з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.