буде стійким, інакше ми вступаємо в зону неустойчивостей, яка сповнена несподіванками. Зокрема, при
, (Рис.3) виникають періодичні коливання
картина ускладнюється і з'являється двоякоперіодичні коливання (рис.2) При подальшому зростанні відносного коефіцієнта приросту, отримуємо учетверение періоду і т.д. в разі
спостерігаються хаотичні коливання (рис.3).
Таким чином, нелінійні ітераційні формули типу (2) приховують в собі безліч таємниць і для їх розкриття потрібні додаткові дослідження в кожному конкретному випадку. Тим більше, що не завжди вдається оцінити збіжність ітераційного процесу глобально.
Цей приклад хоч і є окремим випадком формули (2), але наводить на корисні роздуми. Вищевикладена итерационная формула (25) вперше була побудована для вивчення динаміки популяцій особин певного виду в залежності від винищення ареалу їжі Ферхюльста і носить його ім'я.
Ми бачимо, що одна і та ж математична модель може містити в собі різні аспекти додатків, що цілком характерно для духу прикладної математики.
3. Методи рішення алгебраїчних рівнянь
Більшість завдань фізики, економіки, соціології, біології та інших областей знання призводять до вирішення алгебраїчних рівнянь або систем рівнянь.
Незважаючи на наявність безлічі наближених методів, в даний час, мабуть, немає загального підходу для вирішення будь-якого нелінійного рівняння і тим більше нелінійної системи рівнянь. Тому, в кожному окремому випадку доводиться досліджувати рівняння і будувати відповідні алгоритми, комбінуючи ідеї різних чисельних методів. Так, що рішення нелінійного рівняння, в даний час, швидше за мистецтво, ніж наука. Хоча, відомі програмні продукти сучасних фірм дозволяють, у багатьох випадках, спростити пошук коренів.
Перейдемо на виклад основних відомих і найбільш популярних методів. Перш за все зазначимо, що при знаходженні наближених значень коренів доводиться вирішувати два завдання:
а) відділення коренів, тобто відшукання досить малих областей в кожній з яких знаходиться корінь;
б) обчислення коренів із заданою точністю.
3.1 Метод поділу відрізка навпіл (метод дихотомії)
Перед початком вирішення рівняння
ми повинні виділити інтервал пошуку рішення
, тобто відповісти на питання а) попереднього параграфа. Для цього використовується теорема Вейерштрасса.
Теорема Вейєрштрасса: Якщо на кінцях деякого відрізка безперервна функція
приймає значення різних знаків, то на цьому відрізку рівняння (36) має хоча б один корінь.
Ця теорема висловлює геометрично очевидний факт (рис.4), що складається в тому, що якщо в точках
графік неперервної функції знаходиться в
різних півплощинах від осі
, то знайдеться точка
, така що графік цієї функції перетинається з віссю