Розглянемо відношення R Ì Х 'У; якщо, то перетин по. відносини R. позначається, є безліч таких, що. Безліч всіх перерізів відносини R називають фактор-множиною множини У по відношенню R і позначають. Воно повністю визначає ставлення R.
Якщо записати під кожним елементом з Х відповідне перетин відносини R, то елементи другого рядка утворюють фактор-безліч:
так як відносини - це мно-дружність, то над ними можна виконувати всі теоретико-множествен-ні операції. Крім того, визначаються специфічні для відно-шення операції: звернення (сімметрізація) і композиція.
Ставлення, симетричне (зворотне) деякого відношенню, позначається через і являє собою подмн-дружність безлічі Y 'X, утворене тими парами для яких. Перехід від R до здійснюється взаємо-ної перестановкою координат кожної впорядкованої пари. Так, зворотне відношення для «х ділиться на у» буде «у є дільник х» і для наведеного в (2.1) приклад виражається безліччю.
При переході від R до область визначення стає про-областю значень, і навпаки. Матриця зворотного відносини напів-чає Транспонированием вихідної матриці. Граф зворотного відносини знаходиться з вихідного графа заміною напрямків всіх дуг на протилежні.
Нехай дано три безлічі X, Y, Z і два відносини і. Композиція ставлення-ний А і В є відношення С = А ° В, що складається з усіх тих пар. для яких існує таке у ÎY, що (х, у) Î А та (у, z) Î В.
Перетин відносини С = А ° В по х збігається з перетином відносини В по підмножині А (х)Î Y, т. Е. С (х) = В (А (х)).
Граф композиції відносин виходить з графів вихідних відносин заміною двох стрілок, кінець однієї з яких є початком іншої, на стрілку, початок якої збігається з початком першої, а кінець з кінцем другий.
Матриця композиції відносин є твором матриць вихідних відносин, взятих в зворотному порядку, з заміною всіх ненульових елементів на 1.
Граф композиції цих відносин наведено на рис. 2.3.
Мал. 2.3. Граф композиції С = А ° В