На рис. 8.3 показані форми втрати стійкості стрижнів довжиною з різними випадками закріплення кінців. Випадок б) нами розглянуто при виведенні формули Ейлера. Цей випадок називають основним випадком закріплення.
Для інших випадків закріплення можна повторити все викладки, змінюючи в кожному випадку тільки граничні умови і отримати відповідні значення. Однак можна піти іншим шляхом.
Порівнюючи рис. а) і б) бачимо, що вигнута вісь стрижня, защемленого одним кінцем, знаходиться в тих же умовах, що і верхня частина стрижня завдовжки з шарнірними кінцями. Отже, для стійки довжиною з одним затисненим кінцем буде та ж, що для стійки довжиною з шарнірними кінцями. Тому, підставляючи замість в формулу Ейлера знайдемо:
- Ейлерова сила для стержня з
одним затисненим кінцем.
На рис. г) показана втрата стійкості стержня з двома щемлені кінцями. Видно, що вона симетрична відносно середини стрижня; точки перегину зігнутої осі (в яких, як відомо, згинальні моменти дорівнюють нулю) розташовані на чвертях довжини стрижня. Отже, тут середня частина стрижня завдовжки знаходиться в тих же умовах, що і шарнірно закріплений на кінцях стрижень. Тому, підставляючи тут замість в формулу Ейлера знайдемо
-Ейлерова сила для стержня з двома
Отримані формули Ейлера при різних закріпленнях кінців стрижня можна записати в загальному вигляді:
Тут коефіцієнт приведення довжини.
приведена довжина стержня.
Для основних випадків закріплення стрижнів, показаних на рис. 8.3 коеффіціентімеет наступні значення:
а) один кінець затиснений, інший вільний;
б) з шарнірними кінцями;
в) один кінець затиснений, інший шарнірний;
г) з двома забитими кінцями.
Знаючи критичну силу, можна знайти критичне напруження, поділивши силу на площу. Так як на деформації стрижня місцеві ослаблення площі перетину (отворами) позначаються мало, то при розрахунках на стійкість прийнято використовувати повну площу перетину. Отже, у формулі Ейлера. тоді
Стійкість важлива характеристика стрижнів при розрахунках їх на стійкість. В (8.9) треба підставляти мінімальний радіус інерції перерізу, тому максимальна гнучкість. Стрижень втрачає стійкість в тій площині, в якій його гнучкість максимальна.
У неочевидних випадках треба обчислити окремо: гнучкість щодо (навколо) осі і гнучкість щодо осі. тобто в площині. Якщо. то і розрахунок на поздовжній вигин треба вести в площині вигину. а якщо . то і розрахунок вести в площині. Це дуже важливо, тому що в разі помилки розрахунок ведуть в одній площині, а стрижень втрачає стійкість в іншій площині.
Для циліндричного шарніра (уздовж осі) щодо осі вважається шарнір, а щодо осі можна прийняти защемлення. Однак, слід мати на увазі, що на практиці рідко вдається здійснити защемлення. Досить можливості невеликого повороту опорного перетину в затисканні, щоб воно виявилося в умовах близьких до шарнірне обпирання. Тому зазвичай приймають.
Формула (8.8) теж формула Ейлера для критичних напружень.
Межі застосовності формули Ейлера. Втрата стійкості за межами пропорційності
Формула Ейлера отримана з інтегрування диференціального рівняння пружної осі балки, тобто передбачалося, що стрижень працює в межах пружних деформацій згідно із законом Гука. Недарма у формулі Ейлера фігурує модуль Юнга Е.
Отже, формулою Ейлера можна користуватися для оцінки стійкості стрижнів, якщо критичні напруги, обчислені по ній, виходять вище межі пропорційності (де закон Гука користатися не може).
Отже, формула Ейлера застосовна при дотриманні умови
Тут права частина представляє найменшу (граничне) значення гнучкості стрижня, при якому можна користуватися формулою Ейлера і позначається
Умова застосовності формули Ейлера тоді набуде вигляду:
При гнучкості стрижня, менше граничної, критичне напруження, визначене за формулою Ейлера, виходить значно вище.
Наприклад, при (Ст.3). тобто величина виявляється значно більше межі міцності.
Помилкове використання формули Ейлера для обчислення і перевірки стійкості при малих гнучкість, приводили іноді до серйозних катастроф споруд. Отже, рішення Ейлера можна застосувати на практиці лише для тонких і довгих стрижнів з великою гнучкістю. Тим часом на практиці часто зустрічаються стрижні з малою гнучкістю.
Досліди показали, що якщо по Ейлера. то дійсні критичні напруги значно нижче визначених за Ейлера.
Найважливішим джерелом для встановлення дійсних критичних напружень за межею пропорційності, тобто при малих і середніх гнучкість, з'явилися результати експерименту.
Стрижні, для розрахунку на стійкість яких не можна користуватися формулою Ейлера, можна розбити на дві великі групи:
1) Стрижні з малою гнучкістю
Для таких стрижнів можна говорити про явище втрати стійкості прямолінійної форми стрижня в тому сенсі, як це має місце для тонких і довгих стрижнів. Ці короткі стрижні будуть виходити з ладу головним чином від втрати міцності, тобто напруги стиснення в них досягнуто (для пластичних) або (для тендітних) матеріалів.
Тому для коротких товстих стрижнів. за критичні напруги приймають:
2) Стрижні середньої гнучкості
Для конструкційної Ст.3. З подібними значеннями гнучкості інженер найчастіше зустрічається на практиці.
Ці стрижні при стисканні втрачають свою прямолінійну форму і руйнуються від поздовжнього вигину. У дослідах для них можна відзначити наявність чітко висловленої критичної сили в ейлерову сенсі. Для таких стрижнів критичні напруги виходять вище межі пропорційності і нижче межі текучості матеріалів.
На підставі великого досвідченого матеріалу, зібраного професором Ф. Ясинським, їм була запропонована емпірична формула для визначення критичних напружень подібних стрижнів
- формула Ясинського (8.13)
Тут максимальна стійкість, а й постійні, залежні від матеріалу, наводяться в довідниках. Наприклад: Для Ст.3 кг / см 2. кг / см 2. Для дерева кг / см 2. кг / см 2.
На підставі всього вищесказаного можна побудувати графік критичних напружень (в залежності від гнучкості) для будь-якого матеріалу.
Для конструкційної Ст.3 з кг / см 2 і кг / см 2 цей графік (діаграма) має вигляд, показаної на рис. 8.4. На цьому графіку чітко виділяється три зони:
Пунктиром показана гіпербола Ейлера за. якої не можна користуватися при.
Розрахунок стрижнів на стійкість.
Коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження
Для стиснутих стержнів крім умови міцності
має взяти реванш одночасно умова стійкості
де допустимі напруги на стійкість, коефіцієнт запасу стійкості.
Зазвичай має більш високе значення, ніж коефіцієнт запасу міцності.
Залежності (А) і (В) зручні для перевірки міцності і стійкості вже спроектованих стрижнів.
Для зручності проектувальних розрахунків введено поняття коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження, який позначається буквою.
Знайдемо відношення або
ще називають коефіцієнтом поздовжнього вигину в Будівельних Нормах. Для ряду значень гнучкості. за вищенаведеними формулами або графіками (рис. 8.4) можна знайти величини. Далі, знаючи або і вибравши коефіцієнти і. по залежності (С) можна скласти для даного матеріалу таблиці значень коефіцієнта в функції від гнучкості. тобто .
Такі таблиці наводяться в підручниках і задачниках з опору матеріалів. Користуючись цими таблицями зручно підбирати перетину стислих стрижнів.