Вплив умов закріплення кінців стрижня на величину критичної сили.
Раніше була визначена критична сила для стержня з двома шарнірними опорами по кінцях (формула Ейлера). Розглянемо на прикладах інші випадки закріплення.
Приклад 1. Стійкість консольного стрижня під дією стискаючої сили.
Крайові умови завдання такі:
З рішення (190) для крайових умов знаходимо
З рівняння (195) отримуємо і рівняння (194) дає
Так як, то з умови знаходимо Критичне значення
вийшло в чотири рази меншим, ніж для стержня тієї ж довжини, але з шарнірними опорами. Цей результат цілком природний, так як консольний стержень працює в тих же умовах, що і шарнірно опертий стрижень подвійний довжини (рис. 12.36).
Мал. 12.36. Порівняння значень критичної сили при консольному і шарнірному закріпленні
Отримане рішення дає не тільки величини критичного зусилля (196), але і форму прогину. З формули (187) знаходимо
де С - довільна стала.
З огляду на практичного значення даної задачі наведемо звичайне елементарне рішення. Будемо використовувати рівняння (163):
Загальне рішення цього рівняння можна представити так:
З крайових умов при знаходимо
Таким чином, рішення (199) набуває вигляду
У рівності (200) - невизначений прогин в кінці стержня (див рис. 12.35). При рівність (200) зберігається, якщо що призводить до формули (196).
В даному окремому випадку рішення вийшло простим, але менш загальним, так як крайові умови використовувалися в неявній формі.
Приклад 2. Стійкість стержня з двома забитими перетинами (рис. 12.37). Крайові умови будуть такими:
З останніх крайових умов з урахуванням рівності (190) отримуємо
Визначник цих рівнянь повинен звертатися в нуль, що дає
Мал. 12.37. Стійкість стержня з двома забитими перетинами
Мал. 12.38. Схема рішення рівняння
Мал. 12.39. Стійкість стрижня з одним забитим і іншим шарнірним кінцями
З останнього рівняння знаходимо
Найменші коріння цих рівнянь мають вигляд
Найменше значення критичної сили відповідає значенню (203)
Зауваження. Схема рішення рівняння показана на рис. 12.38. Так як при малих z маємо те перетин прямої і тангенсоіди виходить при значенні z, дещо нижчому.
Точне значення кореня.
Приклад 3. Стійкість стрижня з одним забитим і іншим шарнірним кінцями (рис. 12.39).
Крайові умови мають вигляд
З рішення (190) знаходимо
З рівності нулю визначника рівняння отримуємо
Найменший корінь цього рівняння (див. Рис. 12.38) дорівнює