Вплив умов закріплення кінців стрижня на величину критичної сили

Вплив умов закріплення кінців стрижня на величину критичної сили.

Раніше була визначена критична сила для стержня з двома шарнірними опорами по кінцях (формула Ейлера). Розглянемо на прикладах інші випадки закріплення.

Приклад 1. Стійкість консольного стрижня під дією стискаючої сили.

Крайові умови завдання такі:

З рішення (190) для крайових умов знаходимо

З рівняння (195) отримуємо і рівняння (194) дає

Так як, то з умови знаходимо Критичне значення

вийшло в чотири рази меншим, ніж для стержня тієї ж довжини, але з шарнірними опорами. Цей результат цілком природний, так як консольний стержень працює в тих же умовах, що і шарнірно опертий стрижень подвійний довжини (рис. 12.36).

Мал. 12.36. Порівняння значень критичної сили при консольному і шарнірному закріпленні

Отримане рішення дає не тільки величини критичного зусилля (196), але і форму прогину. З формули (187) знаходимо

де С - довільна стала.

З огляду на практичного значення даної задачі наведемо звичайне елементарне рішення. Будемо використовувати рівняння (163):

Загальне рішення цього рівняння можна представити так:

З крайових умов при знаходимо

Таким чином, рішення (199) набуває вигляду

У рівності (200) - невизначений прогин в кінці стержня (див рис. 12.35). При рівність (200) зберігається, якщо що призводить до формули (196).

В даному окремому випадку рішення вийшло простим, але менш загальним, так як крайові умови використовувалися в неявній формі.

Приклад 2. Стійкість стержня з двома забитими перетинами (рис. 12.37). Крайові умови будуть такими:

З останніх крайових умов з урахуванням рівності (190) отримуємо

Визначник цих рівнянь повинен звертатися в нуль, що дає

Мал. 12.37. Стійкість стержня з двома забитими перетинами

Мал. 12.38. Схема рішення рівняння

Мал. 12.39. Стійкість стрижня з одним забитим і іншим шарнірним кінцями

З останнього рівняння знаходимо

Найменші коріння цих рівнянь мають вигляд

Найменше значення критичної сили відповідає значенню (203)

Зауваження. Схема рішення рівняння показана на рис. 12.38. Так як при малих z маємо те перетин прямої і тангенсоіди виходить при значенні z, дещо нижчому.

Точне значення кореня.

Приклад 3. Стійкість стрижня з одним забитим і іншим шарнірним кінцями (рис. 12.39).

Крайові умови мають вигляд

З рішення (190) знаходимо

З рівності нулю визначника рівняння отримуємо

Найменший корінь цього рівняння (див. Рис. 12.38) дорівнює

Схожі статті