Добротність коливальної системи.
Власні коливання реальної системи. Диференціальне рівняння затухаючих коливань. Коефіцієнт загасання.
Р АНЬШІ ми розглянули власні коливання консервативних (ідеальних) коливальних систем. У таких системах виникають гармонійні коливання, які характеризуються постійністю амплітуди і періоду, і описуються наступним диференціальним рівнянням
В реальних же коливальних системах завжди присутні сили, що перешкоджають коливань (сили опору). Наприклад, в механічних системах завжди присутній сила тертя. У цьому випадку енергія коливань поступово витрачається на роботу проти сили тертя. Тому енергія і амплітуда коливань буде зменшуватися, і коливання будуть затухати. В електричному коливальному контурі енергія коливань витрачається на нагрівання провідників. Тобто реальні коливальні системи є диссипативними.
Власні коливання в реальних системах є затухаючими.
Щоб отримати рівняння коливань в реальній системі необхідно врахувати силу опору. У багатьох випадках можна вважати, що при невеликих швидкостях зміни величини S сила опору пропорційна швидкості
де r - коефіцієнт опору (коефіцієнт тертя при механічних коливаннях), а знак мінус показує, що сила опору протилежна швидкості.
Підставивши силу опору в формулу (2), отримаємо диференціальне рівняння, що описує коливання в реальній системі
Перенесемо всі члени в ліву частину, розділимо на величину m і введемо такі позначення
Як і раніше величина ω0 визначає частоту власних коливань ідеальної системи. Величина ж β характеризує дисипації енергії в системі і називається коефіцієнтом загасання. З формули (5) видно, що коефіцієнт загасання можна зменшити, збільшивши значення величини m при незмінному значенні величини r.
З урахуванням введених позначень отримаємо диференціальне рівняння затухаючих коливань
Рішення диференціального рівняння затухаючих коливань. Амплітуда і частота згасаючих коливань.
Можна показати, що при невеликих значеннях коефіцієнта загасання спільне рішення диференціального рівняння затухаючих коливань має такий вигляд
де величина, що стоїть перед синусом називається амплітудою згасаючих коливань
Частотаωзатухающіх коливань визначається наступним виразом
З наведеної формули (7) видно, що частота власних коливань реальної коливальної системи менше частоти коливань ідеальної системи.
Г рафік рівняння затухаючих коливань наведено на малюнку. Суцільною лінією показаний графік зміщення S (t), а штрихпунктирной лінією показано зміна амплітуди загасаючих коливань.
Слід мати на увазі, що в результаті загасання в повному обсязі значення величин повторюються. Тому, строго кажучи, поняття частоти і періоду не застосовні до загасаючим коливань. В цьому випадку під періодом розуміють проміжок часу, по закінченні якого коливаються величини приймають максимальні (або мінімальні) значення.
Логарифмічний декремент загасання. Добротність коливальної системи. Апериодический процес.
Для кількісної характеристики швидкості убування амплітуди затухаючих коливань вводиться логарифмічний декремент загасання δ.
Логарифмическим декрементом загасання називається натуральний логарифм відношення амплітуд в моменти временіtіt + T, тобто відрізняються на період.
За визначенням логарифмічний декремент визначається наступною формулою
Якщо замість амплітуд у формулі (8) підставити формулу (6), то отримаємо формулу, яка б пов'язала логарифмічний декремент з коефіцієнтом загасання і періодом
Проміжок часу τ. протягом якого амплітуда коливань зменшується в е раз, називається часом релаксації. З урахуванням цього отримаємо, що, де N - це число коливань, протягом яких амплітуда зменшується в е раз. Тобто логарифмічний декремент загасання обернено пропорційний числу коливань, протягом яких амплітуда зменшується Вераза. Якщо, наприклад, β = 0,001, то це означає, що через 100 коливань амплітуда зменшиться в е раз.
Добротністю коливальної системи називається безрозмірна велічінаθ, що дорівнює добутку числа 2π і відносини енергііW (t) коливань в довільний момент часу і втрат цієї енергії за один період згасаючих коливань
Так як енергія пропорційна квадрату амплітуди коливань, то замінивши енергії у формулі (10) квадратами амплітуд, що визначаються формулою (6), отримаємо
При незначних загасання, і. З огляду на це для добротності можна записати
Наведені тут співвідношення можна записати для різних коливальних систем. Для цього достатньо величини S. m. k і r замінити відповідними величинами, котрі характеризують конкретні коливання. Наприклад, для електромагнітних коливань S → q. m → L. k → 1 / C і r → R.
П ри велике значення коефіцієнта загасання β відбувається не тільки швидке зменшення амплітуди, але і збільшення періоду коливань. З формули (7) видно, що при циклічна частота коливань звертається в нуль (Т = ∞), тобто коливання не виникають. Це означає, що при великому опорі вся енергія, повідомлена системі, до моменту повернення її в становище рівноваги витрачається на роботу проти сили опору. Система, виведена з положення рівноваги, повертається в положення рівноваги без запасу енергії. Кажуть, що процес протікає аперіодично. При цьому час встановлення рівноваги визначається значенням опору.
Читачеві пропонується самому подивитися як впливають значення величин r. m. Т1 і φ0 на характер коливань реальної коливальної системи.
Для цього необхідно навести курсор на діаграму і подвійним «клік» активізувати її. Потім у вікні, змінювати значення величин, наведених в кольорових осередках. По закінченню роботи з графіком табліцуEXEL закрити зі збереженням або без збереження даних.
Питання для самоперевірки:
Вивести рівняння затухаючих коливань. Який вигляд має графік рівняння затухаючих коливань?
Якою формулою визначається коефіцієнт загасання? Як можна зменшити коефіцієнт загасання?
Записати закон зміни амплітуди загасаючих коливань.
Якою формулою визначається частота власних коливань реальної коливальної системи?
Що характеризує логарифмічний декремент загасання?
Що розуміють під добротністю коливальної системи?